Seja o segmento orientado de extremidades A(3,1,2) e B(2,6,0). Determine os cosenos diretores do segmento \overrightarrow{A B}.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos pontos e pede os cosenos diretores do segmento orientado \overrightarrow{AB}. Informações relevantes fornecidas:
A(3,1,2).
B(2,6,0).
O que se pede: os cosenos diretores do vetor \overrightarrow{AB}, isto é, os cossenos dos ângulos que \overrightarrow{AB} forma com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro encontramos as componentes do vetor \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A de B:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-3,\;6-1,\;0-2).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{AB}=(-1,\;5,\;-2).
Passo 3
Agora precisamos do módulo (norma) de \overrightarrow{AB}. A fórmula do módulo de um vetor (x,y,z) no espaço é
\|\,(x,y,z)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
porque isso vem do Teorema de Pitágoras aplicado em 3D (somamos os quadrados das projeções). Aplicando ao nosso vetor:
Os cosenos diretores são os cossenos dos ângulos que o vetor forma com os eixos x, y e z. Se chamarmos esses ângulos de \alpha, \beta, \gamma, então as fórmulas são:
\cos\alpha=\frac{\text{componente em }x}{\|\overrightarrow{AB}\|},\qquad \cos\beta=\frac{\text{componente em }y}{\|\overrightarrow{AB}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{\text{componente em }z}{\|\overrightarrow{AB}\|}.