Seja o segmento orientado de extremidades A(3,1,2) e B(2,6,0). Determine os cosenos diretores do segmento \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos pontos e pede os cosenos diretores do segmento orientado \overrightarrow{AB}. Informações relevantes fornecidas:
  • A(3,1,2).
  • B(2,6,0).
  • O que se pede: os cosenos diretores do vetor \overrightarrow{AB}, isto é, os cossenos dos ângulos que \overrightarrow{AB} forma com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro encontramos as componentes do vetor \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A de B:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-3,\;6-1,\;0-2).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{AB}=(-1,\;5,\;-2).

Passo 3

Agora precisamos do módulo (norma) de \overrightarrow{AB}. A fórmula do módulo de um vetor (x,y,z) no espaço é
\|\,(x,y,z)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
porque isso vem do Teorema de Pitágoras aplicado em 3D (somamos os quadrados das projeções). Aplicando ao nosso vetor:
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-1)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30}.

Passo 4

Os cosenos diretores são os cossenos dos ângulos que o vetor forma com os eixos x, y e z. Se chamarmos esses ângulos de \alpha, \beta, \gamma, então as fórmulas são:
\cos\alpha=\frac{\text{componente em }x}{\|\overrightarrow{AB}\|},\qquad \cos\beta=\frac{\text{componente em }y}{\|\overrightarrow{AB}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{\text{componente em }z}{\|\overrightarrow{AB}\|}.
Substituindo as componentes e o módulo calculado:
\cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt{30}},\qquad \cos\beta=\frac{5}{\sqrt{30}},\qquad \cos\gamma=\frac{-2}{\sqrt{30}}.

Passo 5

Cheque rápido (importante na prova): a soma dos quadrados dos cosenos diretores deve ser 1. Verificamos:
\left(\frac{-1}{\sqrt{30}}\right)^{2}+\left(\frac{5}{\sqrt{30}}\right)^{2}+\left(\frac{-2}{\sqrt{30}}\right)^{2} =\frac{1+25+4}{30}=\frac{30}{30}=1.
Tudo consistente — sinal negativo indica que a componente correspondente aponta na direção negativa do eixo.

Resposta

\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{30}}
\cos\beta=\dfrac{5}{\sqrt{30}}
\cos\gamma=-\dfrac{2}{\sqrt{30}}

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