Uma das extremidades de uma barra metálica isolada é mantida a
e a outra extremidade à
por uma mistura de água mais gelo. A barra tem
de comprimento e uma seção reta de área igual a
. O calor conduzido por a barra funde
de gelo em
. Qual é a condutividade térmica do material
? Dados: Calor de fusão do gelo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor! A gente tem uma barra metálica com uma extremidade a 100°C e a outra a 0°C, e queremos descobrir a condutividade térmica do material da barra. Para isso, vamos precisar entender como o calor passa pela barra e como isso está relacionado com a quantidade de gelo que derrete. Os principais conceitos que vamos usar são a Lei de Fourier da condução de calor e o calor de fusão do gelo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
- Temperatura das extremidades: $ T_1 = 100,0^{\circ}C $ e $ T_2 = 0,0^{\circ}C $
- Comprimento da barra: $ L = 1,7 , m $
- Área da seção transversal: $ A = 1,5 , cm^2 = 1,5 \times 10^{-4} , m^2 $ (converti cm² para m²)
- Massa de gelo derretida: $ m = 7,5 , g = 7,5 \times 10^{-3} , kg $
- Tempo: $ t = 10,0 , min = 600 , s $
- Calor de fusão do gelo: $ L_r = 3,34 \times 10^{5} , J/kg $
Passo 3
Vamos calcular a quantidade total de calor ($ Q $) necessária para derreter o gelo. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a potência térmica ($ H $), que é a quantidade de calor transferida por unidade de tempo:
Substituindo os valores:
Passo 5
A próxima etapa é aplicar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos diz que a potência térmica é dada por:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica que queremos encontrar
- $ A $ é a área da seção transversal
- $ \Delta T = T_1 - T_2 = 100,0^{\circ}C - 0,0^{\circ}C = 100,0^{\circ}C $
- $ L $ é o comprimento da barra
Passo 6
Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ k $:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ k $:
Resposta
A condutividade térmica do material da barra é aproximadamente $ 473,17 , W/(m·°C) $.