Uma das extremidades de uma barra metálica isolada é mantida a 100,0^circ C e a outra extremidade à 0,0^circ C por uma mistura de água mais gelo. A barra tem 1,7 m de comprimento e uma seção reta de área igual a 1,5 cm^2. O calor conduzido por a barra funde 7,5 g de gelo em 10,0 min. Qual é a condutividade térmica do material (k)? Dados: Calor de fusão do gelo Lr=3,34 times 10^5 J / kg e H=QL /(De.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de condução de calor! A gente tem uma barra metálica com uma extremidade a 100°C e a outra a 0°C, e queremos descobrir a condutividade térmica do material da barra. Para isso, vamos precisar entender como o calor passa pela barra e como isso está relacionado com a quantidade de gelo que derrete. Os principais conceitos que vamos usar são a Lei de Fourier da condução de calor e o calor de fusão do gelo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • Temperatura das extremidades: $ T_1 = 100,0^{\circ}C $ e $ T_2 = 0,0^{\circ}C $
  • Comprimento da barra: $ L = 1,7 , m $
  • Área da seção transversal: $ A = 1,5 , cm^2 = 1,5 \times 10^{-4} , m^2 $ (converti cm² para m²)
  • Massa de gelo derretida: $ m = 7,5 , g = 7,5 \times 10^{-3} , kg $
  • Tempo: $ t = 10,0 , min = 600 , s $
  • Calor de fusão do gelo: $ L_r = 3,34 \times 10^{5} , J/kg $

Passo 3

Vamos calcular a quantidade total de calor ($ Q $) necessária para derreter o gelo. A fórmula para isso é:
Q
Substituindo os valores:
Q = m times Lr

Passo 4

Agora, vamos calcular a potência térmica ($ H $), que é a quantidade de calor transferida por unidade de tempo:
H
Substituindo os valores:
H = Qt

Passo 5

A próxima etapa é aplicar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos diz que a potência térmica é dada por:
H = k times A times De
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica que queremos encontrar
  • $ A $ é a área da seção transversal
  • $ \Delta T = T_1 - T_2 = 100,0^{\circ}C - 0,0^{\circ}C = 100,0^{\circ}C $
  • $ L $ é o comprimento da barra

Passo 6

Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ k $:
k
Substituindo os valores que já temos:
k = H times LA times De

Passo 7

Agora, vamos calcular $ k $:
k

Resposta

A condutividade térmica do material da barra é aproximadamente $ 473,17 , W/(m·°C) $.

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