Um foguete com massa inicial m0, precisa usar seus motores para planar sobre o solo na Terra. a) Se ele consegue queimar no máximo uma percentagem dado por lambda m0. (0<lambda<1), por quanto tempo ele conseguirá planar? b) Sendo a velocidade de exaustão igual a 3000 m / s e lambda=0.1, qual o tempo que ele consegue planar? Considere a velocidade de exaustão sempre como constante. (Dica: faça o empuxo igual ao peso e integre a equação separando te m.)

Passo 1

O enunciado pede o tempo de planar (hover) de um foguete que queima até uma fração lambda da sua massa inicial m0, usando velocidade de exaustão ve constante. O conteúdo envolve a equação de força de empuxo de um foguete, equilíbrio de forças (empuxo igual ao peso m,g) e integração de uma equação diferencial resultante.

Passo 2

Para um foguete que ejeta massa com velocidade de exaustão constante, o empuxo T vale
T = ve gl(-dmdtgr)
pois tfracdmdt<0 e o sinal negativo garante T>0.

Passo 3

Na sustentação (planar) o empuxo equilibra o peso, ou seja
T = m,g
Substituindo a expressão de T temos
ve l(-tfracdmdtr) = m,g Longrightarrow dmdt = -m,gve

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de t=0 (massa m0) até t=T (massa m0(1-lambda)):
integralm0^m0(1-lambda) dmm = -gve integral0^T dt

Passo 5

Calculando as integrais:
l[ln(m)r]m0^m0(1-lambda) = lnl(m0(1-lambda)r)-ln(m0) = ln(1-lambda) = -gve,T
Assim, o tempo máximo T é
T = -veg,ln(1-lambda) = veg,ln!gl(11-lambdagr)

Passo 6

Para ;ve=3000 m/s, lambda=0,1 e g=9,8 m/s^2,
T = -30009,8,ln(0,9) approx 30009,8times0,10536 approx 32,3 s

Resposta

a) T = -veg,ln(1-lambda)
b) Tapprox 32,3 s

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