Uma das extremidades de uma mola vertical é fixada ao teto. Um peso é preso a outra extremidade e abaixado lentamente até a posição de equilibrio. Mostre que a perda de energia potencial gravitacional do peso equivale à metade do ganho de energia potencial da mola. (Por que estas duas quantidades não são iguais?)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma mola presa no teto e um peso pendurado nela. Quando a gente abaixa o peso até a posição de equilíbrio, queremos mostrar que a energia potencial gravitacional que o peso perde é igual à metade da energia potencial que a mola ganha. Além disso, a gente precisa entender por que essas duas quantidades não são iguais. Vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e de molas para resolver isso. Precisamos lembrar das fórmulas para energia potencial gravitacional e para energia potencial de uma mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
-
Energia Potencial Gravitacional (EPG):Onde:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura.
-
Energia Potencial da Mola (EPM):Onde:
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x $ é a deformação da mola (como ela estica ou comprime).
Passo 3
Quando o peso é abaixado lentamente até a posição de equilíbrio, a energia potencial gravitacional diminui porque o peso está se movendo para baixo. Ao mesmo tempo, a mola está se esticando, aumentando sua energia potencial. Vamos calcular essas mudanças.
Passo 4
Vamos supor que o peso descaia uma altura $ h $ até a posição de equilíbrio. A perda de energia potencial gravitacional é:
Passo 5
No ponto de equilíbrio, a mola está esticada uma distância $ x $. A energia potencial da mola aumentou para:
Passo 6
No equilíbrio, a força da mola (que é $ k \cdot x
m \cdot g $). Então podemos escrever:
Vamos resolver essa equação para $ x $:
Passo 7
Agora, substituímos $ x $ na expressão da energia potencial da mola:
Passo 8
E a perda de energia potencial gravitacional foi:
Sabemos que $ h = x $, então:
Passo 9
Agora, vamos comparar as duas energias:
Vemos que:
Ou seja, a perda de energia potencial gravitacional é o dobro do ganho de energia potencial da mola.
Resposta
A perda de energia potencial gravitacional do peso é o dobro do ganho de energia potencial da mola, ou seja, $ \Delta EPG = 2 \cdot \Delta EPM $. Essas duas quantidades não são iguais porque durante o processo, parte da energia gravitacional perdida é usada para mover o sistema até a posição de equilíbrio, e apenas metade dessa energia é armazenada como energia potencial na mola.