Uma das extremidades de uma mola vertical é fixada ao teto. Um peso é preso a outra extremidade e abaixado lentamente até a posição de equilibrio. Mostre que a perda de energia potencial gravitacional do peso equivale à metade do ganho de energia potencial da mola. (Por que estas duas quantidades não são iguais?)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma mola presa no teto e um peso pendurado nela. Quando a gente abaixa o peso até a posição de equilíbrio, queremos mostrar que a energia potencial gravitacional que o peso perde é igual à metade da energia potencial que a mola ganha. Além disso, a gente precisa entender por que essas duas quantidades não são iguais. Vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e de molas para resolver isso. Precisamos lembrar das fórmulas para energia potencial gravitacional e para energia potencial de uma mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
  • Energia Potencial Gravitacional (EPG):
    EPG = m cdot g cdot h
    Onde:
    • $ m $ é a massa do objeto,
    • $ g $ é a aceleração da gravidade,
    • $ h $ é a altura.
  • Energia Potencial da Mola (EPM):
    m
    Onde:
    • $ k $ é a constante da mola,
    • $ x $ é a deformação da mola (como ela estica ou comprime).

Passo 3

Quando o peso é abaixado lentamente até a posição de equilíbrio, a energia potencial gravitacional diminui porque o peso está se movendo para baixo. Ao mesmo tempo, a mola está se esticando, aumentando sua energia potencial. Vamos calcular essas mudanças.

Passo 4

Vamos supor que o peso descaia uma altura $ h $ até a posição de equilíbrio. A perda de energia potencial gravitacional é:
h

Passo 5

No ponto de equilíbrio, a mola está esticada uma distância $ x $. A energia potencial da mola aumentou para:
x

Passo 6

No equilíbrio, a força da mola (que é $ k \cdot x k cdot x ç m \cdot g $). Então podemos escrever:
m cdot g
Vamos resolver essa equação para $ x $:
k cdot x = m cdot g

Passo 7

Agora, substituímos $ x $ na expressão da energia potencial da mola:
x

Passo 8

E a perda de energia potencial gravitacional foi:
De
Sabemos que $ h = x $, então:
h = x

Passo 9

Agora, vamos comparar as duas energias:
De
De
Vemos que:
De
Ou seja, a perda de energia potencial gravitacional é o dobro do ganho de energia potencial da mola.

Resposta

A perda de energia potencial gravitacional do peso é o dobro do ganho de energia potencial da mola, ou seja, $ \Delta EPG = 2 \cdot \Delta EPM $. Essas duas quantidades não são iguais porque durante o processo, parte da energia gravitacional perdida é usada para mover o sistema até a posição de equilíbrio, e apenas metade dessa energia é armazenada como energia potencial na mola.

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