Três partículas de massas
e
, encontram-se distribuídas nos vértices de um triângulo retângulo de lados:
e 100 cm . Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo perpendicular ao plano xy que passa pela massa
.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: temos três partículas, com massas m₁ = 2 kg, m₂ = 4 kg e m₃ = 5 kg, nos vértices de um triângulo retângulo cujos lados medem 60 cm, 80 cm e 100 cm. A gente quer calcular o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano xy que passa pelo ponto onde está m₁.
Isso é uma questão de momento de inércia de massas pontuais. Para resolver só precisamos:
Isso é uma questão de momento de inércia de massas pontuais. Para resolver só precisamos:
- Converter centímetros em metros (SI).
- Escolher convenientemente as coordenadas para cada massa (aí fica fácil achar as distâncias até o eixo).
- Aplicar a fórmula básica para ponto material:
onde
é a distância da massa
ao eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os lados do triângulo para metros:
60 cm = 0,60 m, 80 cm = 0,80 m, 100 cm = 1,00 m.
60 cm = 0,60 m, 80 cm = 0,80 m, 100 cm = 1,00 m.
Como é triângulo retângulo, vamos supor que o ângulo reto esteja em m₁ (é a escolha mais natural se ninguém disse o contrário). Aí m₂ e m₃ ficam nos outros dois vértices dos catetos de comprimentos 0,60 m e 0,80 m.
Passo 3
Agora escolhemos coordenadas:
- Coloco m₁ na origem
. - Coloco m₂ em
. - Coloco m₃ em
.
O eixo de rotação é perpendicular ao plano xy passando pela origem, então a distância de cada massa ao eixo é simplesmente a sua distância ao ponto
:
- Para m₁:
. - Para m₂:
. - Para m₃:
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula
:
Substituindo:
Calcula passo a passo:
-
. -
.
Então
Resposta
O momento de inércia do sistema, em relação ao eixo perpendicular ao plano xy que passa por m₁, é