Três partículas de massas m1=2 kg, m2=4 kg e m3=5 kg, encontram-se distribuídas nos vértices de um triângulo retângulo de lados: 60 cm, 80 cm e 100 cm . Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo perpendicular ao plano xy que passa pela massa m1.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos três partículas, com massas m₁ = 2 kg, m₂ = 4 kg e m₃ = 5 kg, nos vértices de um triângulo retângulo cujos lados medem 60 cm, 80 cm e 100 cm. A gente quer calcular o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano xy que passa pelo ponto onde está m₁.
Isso é uma questão de momento de inércia de massas pontuais. Para resolver só precisamos:
  1. Converter centímetros em metros (SI).
  2. Escolher convenientemente as coordenadas para cada massa (aí fica fácil achar as distâncias até o eixo).
  3. Aplicar a fórmula básica para ponto material:
I = sumi mi , ri^2,
onde é a distância da massa ao eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os lados do triângulo para metros:
60 cm = 0,60 m, 80 cm = 0,80 m, 100 cm = 1,00 m.
Como é triângulo retângulo, vamos supor que o ângulo reto esteja em m₁ (é a escolha mais natural se ninguém disse o contrário). Aí m₂ e m₃ ficam nos outros dois vértices dos catetos de comprimentos 0,60 m e 0,80 m.

Passo 3

Agora escolhemos coordenadas:
  • Coloco m₁ na origem .
  • Coloco m₂ em .
  • Coloco m₃ em .
O eixo de rotação é perpendicular ao plano xy passando pela origem, então a distância de cada massa ao eixo é simplesmente a sua distância ao ponto :
  • Para m₁: .
  • Para m₂: .
  • Para m₃: .

Passo 4

Aplicamos a fórmula I = m1,r1^2 + m2,r2^2 + m3,r3^2 :
I = 2cdot(0)^2 + 4cdot(0,60)^2 + 5cdot(0,80)^2
Substituindo:
I = 0 + 1,44 + 3,20 = 4,64 ;kg·m^2
Calcula passo a passo:
  • .
  • .
Então

Resposta

O momento de inércia do sistema, em relação ao eixo perpendicular ao plano xy que passa por m₁, é
boxedI = 4,64;kg·m^2

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