Sejam E=(e1, e2, e3) uma base, f1=e1-e2, f2=m e1+e3, f3=-e1-e2-e3.
(a) Para que valores de m a tripla F=(f1, f2, f3) é base?
(b) Nas condições do item (a), calcule a e b de modo que os vetores u=(1,1,1)E e v=(2, a, b)F sejam L D.

Passo 1

O enunciado apresenta a base
E=(e1,e2,e3)
e define
f1=e1-e2,
f2=m,e1+e3,
f3=-e1-e2-e3
(a) Pede para quais m o conjunto F=(f1,f2,f3) é base.
Conteúdo: independência linear em R^3 via determinante da matriz de transição.

Passo 2

As colunas da matriz de transição de F para E são as coordenadas de f1,f2,f3 em E:
M = 1 & m & -1 -1 & 0 & -1 0 & 1 & -1
Calculamos
det(M) =1cdotdet0 & -11 & -1 - mcdotdet-1 & -10 & -1 +(-1)cdotdet-1 & 00 & 1 =2 - m

Passo 3

Para que F seja base, precisamos de det(M)neq0. Assim
m neq 2

Passo 4

(b) Agora, sob a condição mneq2, queremos que
vec u=(1,1,1)E
e
vec v=(2,a,b)F
sejam linearmente dependentes. Primeiro expressamos vec v em E:
vec v = 2,f1 + a,f2 + b,f3 = (2+am-b),e1 +(-2-b),e2 + (a-b),e3
Logo, em coordenadas de E:
vec v=(2+am-b,,-2-b,,a-b)

Passo 5

Para vec u e vec v serem colineares, existe lambda tal que
(2+am-b,,-2-b,,a-b) = (lambda,lambda,lambda)
Das segundas e terceiras coordenadas obtemos
-2 - b = lambda e a - b = lambda Longrightarrow a = -2
Substituindo na primeira coordenada:
2 + (-2)m - b = -2 - b Longrightarrow 2 - 2m = -2 Longrightarrow m = 2
Isso entra em contradição com mneq2 do item (a), logo não há escolha de (a,b) que torne vec u e vec v LD mantendo F como base.

Resposta

(a) mneq2.
(b) Não existe par (a,b) que torne vec u e vec v linearmente dependentes sob a condição mneq2.

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