Resolva o problema de valor de contorno dado.
y^{\prime \prime}+3 y=6 x, y(0)+y^{\prime}(0)=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições de contorno:
y'' + 3y = 6x,
com as condições
y(0)+y'(0)=0,\qquad y(1)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e ambas as condições de contorno. As informações relevantes são a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o termo não-homogêneo 6x.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial escrevendo a solução geral como soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular da não-homogênea. Explico cada passo com calma.
Primeiro, a homogênea associada é
y_h'' + 3y_h = 0.
Procuramos soluções do tipo y_h=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2 + 3 = 0.
As raízes são
r = \pm i\sqrt{3}.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm i\omega, a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno:
y_h(x) = A\cos\!\big(\sqrt{3}x\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}x\big),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular y_p(x) da equação completa
y'' + 3y = 6x.
Dica prática (método dos coeficientes indeterminados): o termo à direita é um polinômio de grau 1 (isto é, 6x). Para um forçamento polinomial de grau n tentamos uma particular também polinomial de grau n. Assim tentamos
y_p(x) = a x + b,
onde a,b são constantes a determinar. Calculamos a derivada segunda:
y_p''(x)=0.
Substituindo na equação:
0 + 3(ax+b) = 6x.
Igualando coeficientes do polinômio em x:
3a = 6 \quad\Rightarrow\quad a = 2,
3b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.
Logo
y_p(x) = 2x.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A\cos\!\big(\sqrt{3}x\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}x\big) + 2x.
Agora precisamos determinar A e B usando as condições de contorno.

Passo 5

Calculamos y(0) e y'(x) para aplicar as condições.
Primeiro,
y(0) = A\cos 0 + B\sin 0 + 2\cdot 0 = A.
Derivando y(x):
y'(x) = -A\sqrt{3}\sin\!\big(\sqrt{3}x\big) + B\sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}x\big) + 2.
Portanto
y'(0) = -A\sqrt{3}\cdot 0 + B\sqrt{3}\cdot 1 + 2 = B\sqrt{3} + 2.

Passo 6

Aplicando a primeira condição y(0)+y'(0)=0:
A + (B\sqrt{3} + 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad A + \sqrt{3}B = -2.
Aplicando a segunda condição y(1)=0:
A\cos\!\big(\sqrt{3}\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}\big) + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad A\cos\!\big(\sqrt{3}\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}\big) = -2.
Temos, portanto, o sistema linear para A e B:
\begin{cases} A + \sqrt{3}\,B = -2,\\[4pt] A\cos\!\big(\sqrt{3}\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}\big) = -2. \end{cases}]

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação isolamos A:
A = -2 - \sqrt{3}\,B.
Substituímos na segunda:
(-2 - \sqrt{3}\,B)\cos\!\big(\sqrt{3}\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}\big) = -2.
Organizando em termos de B:
-2\cos\!\big(\sqrt{3}\big) + B\big(-\sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big) + \sin\!\big(\sqrt{3}\big)\big) = -2.
Passando o termo constante para o outro lado:
B\big(\sin\!\big(\sqrt{3}\big) - \sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big)\big) = 2\big(\cos\!\big(\sqrt{3}\big) - 1\big).
Desde que o coeficiente de B não seja zero (caso raro; aqui é diferente de zero), obtemos
B = \dfrac{2\big(\cos\!\big(\sqrt{3}\big) - 1\big)}{\sin\!\big(\sqrt{3}\big) - \sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big)}.

Passo 8

Agora achamos A usando A = -2 - \sqrt{3}\,B:
A = -2 - \sqrt{3}\,\dfrac{2\big(\cos\!\big(\sqrt{3}\big) - 1\big)}{\sin\!\big(\sqrt{3}\big) - \sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big)}.
Pronto — essas expressões para A e B determinam unicamente a solução por conta do sistema linear (determinante \sin\!\big(\sqrt{3}\big)-\sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big) que, neste caso, não é zero).

Passo 9

Escrevendo a solução final juntando tudo:
y(x) = A\cos\!\big(\sqrt{3}x\big) + B\sin\!\big(\sqrt{3}x\big) + 2x,
com A e B dados nas fórmulas do Passo 8. Essa é a solução do problema de valor de contorno.

Resposta

y(x)=\left(-2-\sqrt{3}\,\dfrac{2\big(\cos\!\big(\sqrt{3}\big)-1\big)}{\sin\!\big(\sqrt{3}\big)-\sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big)}\right)\cos\!\big(\sqrt{3}x\big) +\dfrac{2\big(\cos\!\big(\sqrt{3}\big)-1\big)}{\sin\!\big(\sqrt{3}\big)-\sqrt{3}\cos\!\big(\sqrt{3}\big)}\sin\!\big(\sqrt{3}x\big)+2x

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