Resolva o problema de valor de contorno dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições de contorno:
com as condições
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e ambas as condições de contorno. As informações relevantes são a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o termo não-homogêneo
.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial escrevendo a solução geral como soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular da não-homogênea. Explico cada passo com calma.
Primeiro, a homogênea associada é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
As raízes são
Quando as raízes são puramente imaginárias
, a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular
da equação completa
Dica prática (método dos coeficientes indeterminados): o termo à direita é um polinômio de grau
(isto é,
). Para um forçamento polinomial de grau
tentamos uma particular também polinomial de grau
. Assim tentamos
onde
são constantes a determinar. Calculamos a derivada segunda:
Substituindo na equação:
Igualando coeficientes do polinômio em
:
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é
Agora precisamos determinar
e
usando as condições de contorno.
Passo 5
Calculamos
e
para aplicar as condições.
Primeiro,
Derivando
:
Portanto
Passo 6
Aplicando a primeira condição
:
Aplicando a segunda condição
:
Temos, portanto, o sistema linear para
e
:
Passo 7
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação isolamos
:
Substituímos na segunda:
Organizando em termos de
:
Passando o termo constante para o outro lado:
Desde que o coeficiente de
não seja zero (caso raro; aqui é diferente de zero), obtemos
Passo 8
Agora achamos
usando
:
Pronto — essas expressões para
e
determinam unicamente a solução por conta do sistema linear (determinante
que, neste caso, não é zero).
Passo 9
Escrevendo a solução final juntando tudo:
com
e
dados nas fórmulas do Passo 8. Essa é a solução do problema de valor de contorno.