Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
, ou seja, um polinômio de grau 2 multiplicando .
O objetivo final é encontrar a solução geral
da equação, que normalmente se escreve como a soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e interpretar as constantes que aparecem.
A homogênea é
Para resolver, usamos a equação característica: suponha
. Substituindo dá
Isso implica
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinados por condições iniciais (se houvessem). Aqui elas representam os graus de liberdade da solução geral da parte homogênea.
Passo 3
Escolher um palpite (ansatz) para a solução particular baseado na forma do termo não-homogêneo e explicar por que.
O lado direito é
, produto de um polinômio de grau 2 por
. Para operador linear com coeficientes constantes, um candidato razoável para a parte particular é a combinação de um polinômio de mesmo grau multiplicando
e outro polinômio do mesmo grau multiplicando
. Assim tomamos o ansatz
onde
são coeficientes indeterminados que vamos determinar. Explicando o porquê: o operador diferencial não anula senos/ cossenos de frequência
(não há ressonância com as raízes
reais), portanto não precisamos multiplicar o candidato por potências de
extras.
Passo 4
Calcular
e
de maneira organizada para depois substituir na equação.
Defina
e escreva
Derivando (usando
e
):
Agrupando termos em
e
:
Agora derivar novamente. Denote
e
, assim
. Então
Agrupando:
Passo 5
Substituir
e
em
e obter equações para os polinômios.
Temos
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
Portanto as identidades polinomiais (coeficientes de
e
) exigem:
Lembrando que
e
, substituímos para obter equações apenas em
e
.
Passo 6
Expressar essas equações explicitamente usando
e
, e igualar coeficientes.
Calcule derivadas:
Agora escrevendo as duas equações desenvolvidas (substituindo
por
e
por
) obtemos:
Substituindo os polinômios e suas derivadas:
Para a primeira:
Organizando por potências de
:
Igualando coeficientes de
,
e termo constante, obtemos:
Para a segunda:
Organizando:
Igualando coeficientes:
Passo 7
Resolver o sistema algébrico resultante para
.
Das equações obtidas:
-
implica
-
implica
- Da equação
e como , temos então
- De
temos
- Da equação
com e vem
- Resta a equação
. Substituindo e :
Calcule passo a passo:
então
Simplificando o lado esquerdo:
Isolando
:
Portanto os coeficientes encontrados são
Passo 8
Escrever a solução particular com os coeficientes obtidos e então a solução geral; comentar brevemente como usar isso na prova.
Com os coeficientes:
Logo a solução particular é
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
Dica rápida para prova: escreva o ansatz polinômio·sin + polinômio·cos com grau igual ao polinômio do lado direito; derive com cuidado agrupando em
e
; iguale coeficientes polinomiais e resolva o sistema linear simples. Não se esqueça de verificar se há ressonância (aqui não havia), caso contrário multiplicar por potências de
.