Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime}-4 y=\left(x^{2}-3\right) \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-4y=(x^{2}-3)\sin 2x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é (x^{2}-3)\sin 2x, ou seja, um polinômio de grau 2 multiplicando \sin 2x.
O objetivo final é encontrar a solução geral y(x) da equação, que normalmente se escreve como a soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e interpretar as constantes que aparecem.
A homogênea é
y''-4y=0.
Para resolver, usamos a equação característica: suponha y=e^{rx}. Substituindo dá
r^{2}-4=0.
Isso implica
r=\pm 2.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão determinados por condições iniciais (se houvessem). Aqui elas representam os graus de liberdade da solução geral da parte homogênea.

Passo 3

Escolher um palpite (ansatz) para a solução particular baseado na forma do termo não-homogêneo e explicar por que.
O lado direito é (x^{2}-3)\sin 2x, produto de um polinômio de grau 2 por \sin 2x. Para operador linear com coeficientes constantes, um candidato razoável para a parte particular é a combinação de um polinômio de mesmo grau multiplicando \sin 2x e outro polinômio do mesmo grau multiplicando \cos 2x. Assim tomamos o ansatz
y_{p}(x)=\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)\sin 2x+\bigl(d x^{2}+e x+f\bigr)\cos 2x,
onde a,b,c,d,e,f são coeficientes indeterminados que vamos determinar. Explicando o porquê: o operador diferencial não anula senos/ cossenos de frequência 2 (não há ressonância com as raízes \pm2 reais), portanto não precisamos multiplicar o candidato por potências de x extras.

Passo 4

Calcular y_{p}' e y_{p}'' de maneira organizada para depois substituir na equação.
Defina
P_{1}(x)=a x^{2}+b x+c,\qquad P_{2}(x)=d x^{2}+e x+f,
e escreva
y_{p}=P_{1}\sin 2x+P_{2}\cos 2x.
Derivando (usando (\sin 2x)'=2\cos 2x e (\cos 2x)'=-2\sin 2x):
y_{p}'=P_{1}'\sin 2x+2P_{1}\cos 2x+P_{2}'\cos 2x-2P_{2}\sin 2x.
Agrupando termos em \sin 2x e \cos 2x:
y_{p}'=\bigl(P_{1}'-2P_{2}\bigr)\sin 2x+\bigl(P_{2}'+2P_{1}\bigr)\cos 2x.
Agora derivar novamente. Denote A=P_{1}'-2P_{2} e B=P_{2}'+2P_{1}, assim y_{p}'=A\sin2x+B\cos2x. Então
y_{p}''=A'\sin 2x+2A\cos 2x+B'\cos 2x-2B\sin 2x.
Agrupando:
y_{p}''=\bigl(A'-2B\bigr)\sin 2x+\bigl(B'+2A\bigr)\cos 2x.

Passo 5

Substituir y_{p} e y_{p}'' em y''-4y e obter equações para os polinômios.
Temos
y_{p}''-4y_{p}=\Bigl(A'-2B-4P_{1}\Bigr)\sin 2x+\Bigl(B'+2A-4P_{2}\Bigr)\cos 2x.
Queremos que isso seja igual a (x^{2}-3)\sin 2x, ou seja
\Bigl(A'-2B-4P_{1}\Bigr)\sin 2x+\Bigl(B'+2A-4P_{2}\Bigr)\cos 2x=(x^{2}-3)\sin 2x+0\cdot\cos 2x.
Portanto as identidades polinomiais (coeficientes de \sin 2x e \cos 2x) exigem:
A'-2B-4P_{1}=x^{2}-3,
B'+2A-4P_{2}=0.
Lembrando que A=P_{1}'-2P_{2} e B=P_{2}'+2P_{1}, substituímos para obter equações apenas em P_{1} e P_{2}.

Passo 6

Expressar essas equações explicitamente usando P_{1}=a x^{2}+b x+c e P_{2}=d x^{2}+e x+f, e igualar coeficientes.
Calcule derivadas:
P_{1}'=2a x+b,\qquad P_{1}''=2a,
P_{2}'=2d x+e,\qquad P_{2}''=2d.
Agora escrevendo as duas equações desenvolvidas (substituindo A' por P_{1}''-2P_{2}' e B' por P_{2}''+2P_{1}') obtemos:
P_{1}''-4P_{2}'-8P_{1}=x^{2}-3,
P_{2}''+4P_{1}'-8P_{2}=0.
Substituindo os polinômios e suas derivadas:
Para a primeira:
2a-4(2d x+e)-8(ax^{2}+bx+c)=x^{2}-3.
Organizando por potências de x:
-8a\,x^{2}+(-8d-8b)\,x+(2a-4e-8c)=x^{2}-3.
Igualando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, obtemos:
-8a=1,
-8d-8b=0,
2a-4e-8c=-3.
Para a segunda:
2d+4(2a x+b)-8(dx^{2}+ex+f)=0.
Organizando:
-8d\,x^{2}+(8a-8e)\,x+(2d+4b-8f)=0.
Igualando coeficientes:
-8d=0,
8a-8e=0,
2d+4b-8f=0.

Passo 7

Resolver o sistema algébrico resultante para a,b,c,d,e,f.
Das equações obtidas:
  1. -8a=1 implica
a=-\tfrac{1}{8}.
  1. -8d=0 implica
d=0.
  1. Da equação -8d-8b=0 e como d=0, temos -8b=0 então
b=0.
  1. De 8a-8e=0 temos
e=a=-\tfrac{1}{8}.
  1. Da equação 2d+4b-8f=0 com d=0 e b=0 vem
-8f=0 \quad\Rightarrow\quad f=0.
  1. Resta a equação 2a-4e-8c=-3. Substituindo a=-\tfrac{1}{8} e e=-\tfrac{1}{8}:
2\Bigl(-\tfrac{1}{8}\Bigr)-4\Bigl(-\tfrac{1}{8}\Bigr)-8c=-3.
Calcule passo a passo:
2\Bigl(-\tfrac{1}{8}\Bigr)=-\tfrac{1}{4},\qquad -4\Bigl(-\tfrac{1}{8}\Bigr)=+\tfrac{1}{2},
então
-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-8c=-3.
Simplificando o lado esquerdo:
\tfrac{1}{4}-8c=-3.
Isolando c:
-8c=-3-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{13}{4},
c=\tfrac{13}{32}.
Portanto os coeficientes encontrados são
a=-\tfrac{1}{8},\quad b=0,\quad c=\tfrac{13}{32},\quad d=0,\quad e=-\tfrac{1}{8},\quad f=0.

Passo 8

Escrever a solução particular com os coeficientes obtidos e então a solução geral; comentar brevemente como usar isso na prova.
Com os coeficientes:
P_{1}(x)=-\tfrac{1}{8}x^{2}+0\cdot x+\tfrac{13}{32}=-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{13}{32},
P_{2}(x)=0\cdot x^{2}-\tfrac{1}{8}x+0=-\tfrac{1}{8}x.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=\Bigl(-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{13}{32}\Bigr)\sin 2x+\Bigl(-\tfrac{1}{8}x\Bigr)\cos 2x.
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+\Bigl(-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{13}{32}\Bigr)\sin 2x-\tfrac{1}{8}x\cos 2x.
Dica rápida para prova: escreva o ansatz polinômio·sin + polinômio·cos com grau igual ao polinômio do lado direito; derive com cuidado agrupando em \sin e \cos; iguale coeficientes polinomiais e resolva o sistema linear simples. Não se esqueça de verificar se há ressonância (aqui não havia), caso contrário multiplicar por potências de x.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+\Bigl(-\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{13}{32}\Bigr)\sin 2x-\tfrac{1}{8}x\cos 2x

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