Qual a taxa de variação máxima da função f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2} no ponto (1,-1) e em qual direção isso ocorre.

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=x^{2}+x y+y^{2} e pede duas coisas, avaliadas no ponto (1,-1): (1) a taxa de variação máxima de f naquele ponto; (2) a direção em que essa taxa máxima ocorre.
Informações relevantes: a função f está definida em variáveis (x,y) e o ponto onde perguntam é (1,-1). Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Para resolver, precisamos entender o que é “taxa de variação de f numa direção” e como achar a taxa máxima. Vou explicar com calma e exemplos pequenos antes de aplicar ao exercício.
Definição (intuição): a taxa de variação de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} em um ponto é a derivada direcional nessa direção — ela mede quão rápido f muda quando você se move um pouquinho na direção \mathbf{u}. Matematicamente essa derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla f é o vetor gradiente, cujas componentes são as derivadas parciais de f. O vetor \mathbf{u} deve ser unitário (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1) para que a taxa seja por unidade de deslocamento. Vou mostrar como obter \nabla f e por que o produto escalar dá a taxa máxima.

Passo 3

Como calcular o gradiente \nabla f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Para a nossa função, derivamos em relação a x mantendo y fixo, e em relação a y mantendo x fixo. Faça assim:
  • \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x porque a derivada de x^{2} é 2x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y porque \partial (xy)/\partial x = y (trata y como constante).
  • \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 pois depende só de y.
    Somando, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y.
Da mesma forma para y:
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
  • \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x+2y.

Passo 4

Escrevendo o gradiente e avaliando no ponto (1,-1):
\nabla f(x,y)=\bigl(2x+y,\;x+2y\bigr).
Agora plugamos (x,y)=(1,-1):
\nabla f(1,-1)=\bigl(2\cdot 1+(-1),\;1+2\cdot(-1)\bigr)=\bigl(1,\;-1\bigr).
Então o gradiente no ponto é \nabla f(1,-1)=(1,-1).

Passo 5

Por que a taxa máxima ocorre na direção do gradiente e qual é o valor máximo? Use a desigualdade de Cauchy–Schwarz (vou explicar de forma simples): para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{a}\|.
Igualdade ocorre quando \mathbf{u} é paralelo a \mathbf{a} (ou seja, aponta na mesma direção). No nosso caso \mathbf{a}=\nabla f, e a derivada direcional é \nabla f\cdot\mathbf{u}. Assim o maior valor possível de D_{\mathbf{u}}f sobre todos os \mathbf{u} unitários é exatamente \|\nabla f\|, e isso acontece quando \mathbf{u} aponta na mesma direção de \nabla f.

Passo 6

Calcule a magnitude do gradiente no ponto:
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto a taxa de variação máxima é \sqrt{2}.
Agora a direção: queremos o vetor unitário \mathbf{u} que seja paralelo a \nabla f(1,-1)=(1,-1). Para obter um vetor unitário, normalizamos dividindo pela norma:
\mathbf{u}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Como verificação rápida, o produto escalar dá
\nabla f(1,-1)\cdot\mathbf{u}=(1,-1)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
confirmando que alcançamos a magnitude da norma.

Resposta

A taxa de variação máxima é \sqrt{2}.
A direção onde isso ocorre (vetor unitário) é \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

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