Qual a taxa de variação máxima da função
no ponto
e em qual direção isso ocorre.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas, avaliadas no ponto
: (1) a taxa de variação máxima de
naquele ponto; (2) a direção em que essa taxa máxima ocorre.
Informações relevantes: a função está definida em variáveis
e o ponto onde perguntam é
. Não há outras restrições ou dados adicionais.
Informações relevantes: a função
Passo 2
Para resolver, precisamos entender o que é “taxa de variação de
numa direção” e como achar a taxa máxima. Vou explicar com calma e exemplos pequenos antes de aplicar ao exercício.
Definição (intuição): a taxa de variação de na direção de um vetor unitário
em um ponto é a derivada direcional nessa direção — ela mede quão rápido
muda quando você se move um pouquinho na direção
. Matematicamente essa derivada direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e
:
Definição (intuição): a taxa de variação de
Aqui
é o vetor gradiente, cujas componentes são as derivadas parciais de
. O vetor
deve ser unitário (ou seja,
) para que a taxa seja por unidade de deslocamento. Vou mostrar como obter
e por que o produto escalar dá a taxa máxima.
Passo 3
Como calcular o gradiente
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Para a nossa função, derivamos em relação a
mantendo
fixo, e em relação a
mantendo
fixo. Faça assim:
-
porque a derivada de é . -
porque (trata como constante). -
pois depende só de .
Somando, obtemos
Da mesma forma para
:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 4
Escrevendo o gradiente e avaliando no ponto
:
Agora plugamos
:
Então o gradiente no ponto é
.
Passo 5
Por que a taxa máxima ocorre na direção do gradiente e qual é o valor máximo? Use a desigualdade de Cauchy–Schwarz (vou explicar de forma simples): para dois vetores
e
com
,
Igualdade ocorre quando
é paralelo a
(ou seja, aponta na mesma direção). No nosso caso
, e a derivada direcional é
. Assim o maior valor possível de
sobre todos os
unitários é exatamente
, e isso acontece quando
aponta na mesma direção de
.
Passo 6
Calcule a magnitude do gradiente no ponto:
Portanto a taxa de variação máxima é
.
Agora a direção: queremos o vetor unitário que seja paralelo a
. Para obter um vetor unitário, normalizamos dividindo pela norma:
Agora a direção: queremos o vetor unitário
Como verificação rápida, o produto escalar dá
confirmando que alcançamos a magnitude da norma.
Resposta
A taxa de variação máxima é
.
A direção onde isso ocorre (vetor unitário) é .
A direção onde isso ocorre (vetor unitário) é