F-14 Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular pelo menos dez somas parciais da série
e traçar na mesma tela o gráfico da sequência de termos
com
e o da sequência de somas parciais
com
Vamos usar conceitos de séries numéricas de termos positivos e o teste de comparação para decidir convergência.
Passo 2
Calculemos
e
para
. Aproximando em quatro casas decimais:
n :
n
n
:
n
:
n
:
n
:
n
:
n
:
n
:
n
:
n
:
Passo 3
Se fizermos o gráfico dessas duas sequências, vemos que
– decresce com
e tende a zero;
– cresce lentamente, mas sem sinal de “achatamento” em torno de um valor limite.
–
–
Isso sugere que a série não se estabiliza num valor finito.
Passo 4
Para provar rigorosamente a divergência, usamos comparação com a série harmônica. Note que, para todo
,
Logo
Mas
é divergente (série harmônica). Pelo teste de comparação direta, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge, pois seus termos são maiores ou iguais a
e a série harmônica
diverge.