F-14 Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
sumn=1^infty 1raizn^2+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular pelo menos dez somas parciais da série
sumn=1^infty 1raizn^2+4
e traçar na mesma tela o gráfico da sequência de termos
an com an = 1/raizn^2+4 e o da sequência de somas parciais
sn com
sn = sumk=1^n 1raizk^2+4,
Vamos usar conceitos de séries numéricas de termos positivos e o teste de comparação para decidir convergência.

Passo 2

Calculemos an e sn para n=1,2,dots,10. Aproximando em quatro casas decimais:
n =1:
a1 = 1raiz1+4 = 1raiz5approx0,4472, s1approx0,4472
n =2:
a2 = 1raiz4+4 = 1raiz8approx0,3536, s2approx0,8008
n =3:
a3 = 1raiz9+4 = 1raiz13approx0,2774, s3approx1,0782
n =4:
a4 = 1raiz16+4 = 1raiz20approx0,2236, s4approx1,3018
n =5:
a5 = 1raiz25+4 = 1raiz29approx0,1857, s5approx1,4875
n =6:
a6 = 1raiz36+4 = 1raiz40approx0,1581, s6approx1,6456
n =7:
a7 = 1raiz49+4 = 1raiz53approx0,1374, s7approx1,7830
n =8:
a8 = 1raiz64+4 = 1raiz68approx0,1213, s8approx1,9043
n =9:
a9 = 1raiz81+4 = 1raiz85approx0,1085, s9approx2,0128
n =10:
a10 = 1raiz100+4 = 1raiz104approx0,0980, s10approx2,1108

Passo 3

Se fizermos o gráfico dessas duas sequências, vemos que
an decresce com n e tende a zero;
sn cresce lentamente, mas sem sinal de “achatamento” em torno de um valor limite.
Isso sugere que a série não se estabiliza num valor finito.

Passo 4

Para provar rigorosamente a divergência, usamos comparação com a série harmônica. Note que, para todo n>=1,
raizn^2+4<= raizn^2 + n^2 = nraiz2 Longrightarrow 1raizn^2+4>= 1nraiz2,
Logo
sumn=1^infty 1raizn^2+4 ;>=; 1raiz2sumn=1^infty 1n
Mas sumn=1^infty 1/n é divergente (série harmônica). Pelo teste de comparação direta, a nossa série também diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 1raizn^2+4 diverge, pois seus termos são maiores ou iguais a tfrac1nraiz2 e a série harmônica sum1/n diverge.

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