Se f cdot g é derivável em x0 então f e g são deriváveis em x0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se o produto de duas funções, f cdot g, é derivável em um ponto x0, então cada uma das funções, f e g, também são deriváveis nesse ponto. Vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de funções deriváveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma função é derivável em um ponto, ela também é contínua nesse ponto. Então, já sabemos que se f cdot g é derivável em x0, então f cdot g é contínua em x0.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que f e g individualmente são deriváveis em x0. Para isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades de limites.

Passo 4

Sabemos que a derivada do produto de duas funções é dada pela regra do produto:
(f cdot g)'(x0) = f'(x0) cdot g(x0) + f(x0) cdot g'(x0)
Como f cdot g é derivável em x0, essa expressão existe.

Passo 5

Para que essa expressão exista, tanto f'(x0) quanto g'(x0) precisam existir. Se um deles não existisse, não poderíamos calcular o limite necessário para a derivada do produto.

Passo 6

Portanto, concluímos que para que f cdot g seja derivável em x0, ambas as funções f e g devem ser deriváveis em x0.

Resposta

Então, se f cdot g é derivável em x0, as funções f e g também são deriváveis nesse ponto.

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