Se
é derivável em
então
e
são deriváveis em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se o produto de duas funções,
, é derivável em um ponto
, então cada uma das funções,
e
, também são deriváveis nesse ponto. Vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de funções deriváveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma função é derivável em um ponto, ela também é contínua nesse ponto. Então, já sabemos que se
é derivável em
, então
é contínua em
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
e
individualmente são deriváveis em
. Para isso, vamos usar a definição de derivada e algumas propriedades de limites.
Passo 4
Sabemos que a derivada do produto de duas funções é dada pela regra do produto:
Como
é derivável em
, essa expressão existe.
Passo 5
Para que essa expressão exista, tanto
quanto
precisam existir. Se um deles não existisse, não poderíamos calcular o limite necessário para a derivada do produto.
Passo 6
Portanto, concluímos que para que
seja derivável em
, ambas as funções
e
devem ser deriváveis em
.
Resposta
Então, se
é derivável em
, as funções
e
também são deriváveis nesse ponto.