Seja
o campo
(b) Calcular a função potencial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a função potencial do campo vetorial
. Isso envolve o cálculo de uma função
tal que suas derivadas parciais em relação a
e
sejam as componentes de
. Vamos usar cálculo de funções de várias variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Se existe uma função
tal que:
então
é a função potencial de
.
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
. Ou seja, vamos encontrar
integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
para igualar à segunda componente do campo vetorial:
Essa derivada deve ser igual a
:
Passo 5
Simplificando a equação acima:
Isso significa que
é uma constante, vamos chamar de
.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão da função potencial:
Como a constante
não afeta o campo vetorial, podemos descartá-la para simplificar a resposta.
Resposta
A função potencial de
é: