Seja F: R^2 R^2 o campo
F(x, y)=(3 y^3+y+2,9 x y^2+x)
(b) Calcular a função potencial de F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a função potencial do campo vetorial F(x, y) = (3 y^3 + y + 2, 9 x y^2 + x). Isso envolve o cálculo de uma função phi(x, y) tal que suas derivadas parciais em relação a x e y sejam as componentes de F. Vamos usar cálculo de funções de várias variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Se existe uma função phi(x, y) tal que:
partial phipartial x = 3 y^3 + y + 2 e partial phipartial y = 9 x y^2 + x,
então phi(x, y) é a função potencial de F.

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x. Ou seja, vamos encontrar phi(x, y) integrando 3 y^3 + y + 2 em relação a x:
phi(x, y) = integral (3 y^3 + y + 2), dx = (3 y^3 + y + 2) x + h(y),
onde h(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 4

Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y para igualar à segunda componente do campo vetorial:
partial phipartial y = partialpartial y [(3 y^3 + y + 2) x + h(y)] = (9 y^2 + 1) x + h'(y)
Essa derivada deve ser igual a 9 x y^2 + x:
(9 y^2 + 1) x + h'(y) = 9 x y^2 + x

Passo 5

Simplificando a equação acima:
(9 y^2 + 1) x + h'(y) = 9 x y^2 + x Rightarrow h'(y) = 0
Isso significa que h(y) é uma constante, vamos chamar de C.

Passo 6

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão da função potencial:
phi(x, y) = (3 y^3 + y + 2) x + C
Como a constante C não afeta o campo vetorial, podemos descartá-la para simplificar a resposta.

Resposta

A função potencial de F é:
phi(x, y) = (3 y^3 + y + 2) , x

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