Seja
o campo
(a) Demonstre que
é conservativo.
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que precisamos fazer. O exercício nos dá um campo vetorial
definido por
Precisamos demonstrar que esse campo vetorial é conservativo.
Conteúdo da matéria: Campos vetoriais conservativos são aqueles que possuem um potencial escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Para verificar se um campo é conservativo em
, podemos usar o critério de equivalência das derivadas parciais: se
, onde
, então o campo é conservativo.
O que vamos precisar:
- Identificar as componentes
e do campo . - Calcular as derivadas parciais
e . - Comparar essas derivadas para verificar se são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes
e
do campo vetorial
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Como
, o critério de conservatividade é satisfeito.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
é conservativo.