Seja F: R^2 R^2 o campo
F(x, y)=(3 y^3+y+2,9 x y^2+x)
(a) Demonstre que F é conservativo.

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que precisamos fazer. O exercício nos dá um campo vetorial F: R^2 R^2 definido por
F(x, y)=(3 y^3+y+2,, 9 x y^2+x)
Precisamos demonstrar que esse campo vetorial é conservativo.
Conteúdo da matéria: Campos vetoriais conservativos são aqueles que possuem um potencial escalar, ou seja, existe uma função f(x,y) tal que F = nabla f. Para verificar se um campo é conservativo em R^2, podemos usar o critério de equivalência das derivadas parciais: se partial Ppartial y = partial Qpartial x, onde F = (P, Q), então o campo é conservativo.
O que vamos precisar:
  • Identificar as componentes P e Q do campo F.
  • Calcular as derivadas parciais partial Ppartial y e partial Qpartial x.
  • Comparar essas derivadas para verificar se são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes P e Q do campo vetorial F:
F(x, y) = (P, Q) = (3 y^3+y+2,, 9 x y^2+x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de P em relação a y, ou seja, partial Ppartial y:
P = 3 y^3 + y + 2 partial Ppartial y = 9 y^2 + 1

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de Q em relação a x, ou seja, partial Qpartial x:
Q = 9 x y^2 + x partial Qpartial x = 9 y^2 + 1

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Ppartial y = 9 y^2 + 1 partial Qpartial x = 9 y^2 + 1
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o critério de conservatividade é satisfeito.

Resposta

Portanto, o campo vetorial F(x, y)=(3 y^3+y+2,, 9 x y^2+x) é conservativo.

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