Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.
integral tg^n(x) d x=tg^n-1(x)n-1-integral tg^n-2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula de redução para integral tan^n(x),dx. Aqui vamos usar a identidade trigonométrica e técnica de substituição (que faz parte das técnicas de integração por partes, numa forma simplificada).

Passo 2

Usamos a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
para reescrever
tan^n(x)=tan^n-2(x)tan^2(x)=tan^n-2(x)l(sec^2(x)-1r)

Passo 3

Isso transforma a integral original em duas partes:
integraltan^n(x),dx=integraltan^n-2(x)sec^2(x),dx;- integraltan^n-2(x),dx

Passo 4

Na primeira integral fazemos a substituição
u=tan(x), du=sec^2(x),dx
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integraltan^n-2(x)sec^2(x),dx =integral u^n-2,du =u^n-1n-1 =tan^n-1(x)n-1

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta na expressão anterior, obtemos a fórmula de redução:
integraltan^n(x),dx =tan^n-1(x)n-1 -integraltan^n-2(x),dx + C

Resposta

integral tan^n(x),dx = tan^n-1(x)n-1 - integral tan^n-2(x),dx + C.

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