Usando separação de variáveis, resolva o PVC
partial upartial l=kappa partial^2 upartial x^2 & se x in[0, pi4], u(x, 0)=x(pi4-x) & no instante t=0 u(0, t)=u(pi4, t)=0 & para todo t in R
escrevendo a SF para a função x(pi4-x).

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação do calor ut=kappa,uxx em 0, com condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=u(pi/4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=xl(tfracpi4-xr). O conteúdo é separação de variáveis e série de Fourier seno.

Passo 2

Assumimos solução do tipo u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=kappa,uxx e dividindo por kappa X T obtemos
T'kappa T=X''X=-lambda
onde lambda é constante de separação positiva.

Passo 3

Pela condição X(0)=X(pi/4)=0, as autofunções são
Xn(x)=sinl(npiLxr)=sin(4n x),
com L=pi/4 e valores próprios lambdan=(npi/L)^2=(4n)^2=16n^2. A parte temporal fica Tn(t)=e^-kappalambdan t=e^-16kappa n^2t.

Passo 4

Então a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^infty Bnsin(4n x),e^-16kappa n^2t,
onde os coeficientes Bn vêm de expandir f(x)=x(pi/4-x) na base sin(4n x).

Passo 5

Usando ortonormalidade dos senos no intervalo [0,pi/4],
Bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npiLxr),dx=8piintegral0^pi/4xl(pi4-xr)sin(4n x),dx

Passo 6

Calculando essa integral por partes dá
integral0^pi/4xl(tfracpi4-xr)sin(4n x),dx=1-(-1)^n32n^3
e portanto
Bn=8picdot1-(-1)^n32n^3=1-(-1)^n4pi n^3

Passo 7

Concluímos que a série de Fourier seno da condição inicial é
xl(tfracpi4-xr)=sumn=1^infty1-(-1)^n4pi n^3,sin(4n x)
e só aparecem termos ímpares, pois para n par o coeficiente anula.

Resposta

A série de Fourier seno de x(tfracpi4-x) em [0,pi/4] é
xl(tfracpi4-xr)=sumn=1^infty1-(-1)^n4pi n^3,sin(4n x),

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