O enunciado pede pra resolver a equação do calor ut=kappa,uxx em 0, com condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=u(pi/4,t)=0 e condição inicial u(x,0)=xl(tfracpi4-xr). O conteúdo é separação de variáveis e série de Fourier seno.
Passo 2
Assumimos solução do tipo u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=kappa,uxx e dividindo por kappa X T obtemos
T'kappa T=X''X=-lambda
onde lambda é constante de separação positiva.
Passo 3
Pela condição X(0)=X(pi/4)=0, as autofunções são
Xn(x)=sinl(npiLxr)=sin(4n x),
com L=pi/4 e valores próprios lambdan=(npi/L)^2=(4n)^2=16n^2. A parte temporal fica Tn(t)=e^-kappalambdan t=e^-16kappa n^2t.
Passo 4
Então a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^infty Bnsin(4n x),e^-16kappa n^2t,
onde os coeficientes Bn vêm de expandir f(x)=x(pi/4-x) na base sin(4n x).
Passo 5
Usando ortonormalidade dos senos no intervalo [0,pi/4],