Seja f uma função contínua no ponto 3 com f(3)=10. Mostre que existe de0 tal que para todo x in Df,
3-de9

Passo 1

Temos uma função contínua em 3 com f(3)=10, e queremos mostrar que existe δ>0 tal que se 3−δ<x<3+δ então f(x)>9.

Passo 2

Pela definição de continuidade no ponto 3, sabemos que para todo ε>0 existe δ>0 tal que
|x-3|

Passo 3

Escolhemos ε=1 para controlar a proximidade de f(x) a f(3). Então, existe δ>0 tal que sempre que |x-3|<δ vale
|f(x)-10|<1

Passo 4

Da desigualdade em bloco, temos
[-1 < f(x)-10 < 1 ;\Rightarrow; f(x) > 10-1 = 9.
Portanto, para esse δ, se 3−δ<x<3+δ então f(x)>9.

Resposta

Basta tomar δ>0 garantido pela continuidade de f em 3 para ε=1, pois assim |x-3|<δ implica f(x)>9.

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