Seja
uma função contínua no ponto
. Mostre que existe
tal que para todo
,
Passo 1
Temos uma função contínua em 3 com f(3)=10, e queremos mostrar que existe δ>0 tal que se 3−δ<x<3+δ então f(x)>9.
Passo 2
Pela definição de continuidade no ponto 3, sabemos que para todo ε>0 existe δ>0 tal que
Passo 3
Escolhemos ε=1 para controlar a proximidade de f(x) a f(3). Então, existe δ>0 tal que sempre que |x-3|<δ vale
Passo 4
Da desigualdade em bloco, temos
[-1 < f(x)-10 < 1 ;\Rightarrow; f(x) > 10-1 = 9.
Portanto, para esse δ, se 3−δ<x<3+δ então f(x)>9.
Portanto, para esse δ, se 3−δ<x<3+δ então f(x)>9.
Resposta
Basta tomar δ>0 garantido pela continuidade de f em 3 para ε=1, pois assim |x-3|<δ implica f(x)>9.