A f.d.p. conjunta de variáveis aleatórias X e Y é dada por:
f(x, y)=x+y 0
Calcule:
P(X<1 / 2).

Passo 1

O exercício diz o seguinte: a função densidade conjunta de duas variáveis f(x,y)=x+y para 0 e Pl(X é
e a gente precisa achar
Isso cai em “Probabilidade de variáveis contínuas” e, mais especificamente, em “marginalização de densidades”: para obter , vamos integrar a densidade conjunta sobre toda a faixa de e de de 0 até .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como tirar a densidade marginal de fX(x)=integral-infty^+inftyf(x,y),dy . A teoria nos diz que
fX(x)=integral0^1(x+y),dy
Aqui, como integral0^1(x+y),dy =integral0^1x,dy+integral0^1y,dy =xcdotl[yr]0^1+y^22|0^1 =xcdot(1-0)+1^2-0^22 =x+tfrac12 só existe (é não nula) para fX(x)=x+tfrac12, 0, a gente faz
Vamos calcular isso:
Logo,

Passo 3

Agora que temos Pl(X, a probabilidade pedida é
integral0^1/2x,dx+integral0^1/2tfrac12,dx =l[tfracx^22r]0^1/2 +tfrac12l[xr]0^1/2
Vamos fazer essa integral:
tfrac(1/2)^22=tfrac1/42=tfrac18, tfrac12cdotl(tfrac12-0r)=tfrac14
Calcule cada parte:
tfrac18+tfrac14=tfrac18+tfrac28=tfrac38
Somando dá

Resposta

Pl(X

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