Mostre que a
abaixo é uma legítma f.d.p. conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos a função
e queremos mostrar que ela é uma densidade de probabilidade conjunta (f.d.p.) de
e
.
Conteúdo da matéria: probabilidade contínua, definição de densidade conjunta.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: probabilidade contínua, definição de densidade conjunta.
O que vamos precisar:
- Mostrar que
em todo o domínio. - Mostrar que
.
Passo 2
Verificar não-negatividade.
- Para
ou , os indicadores ou anulam , então . - Para
e , temos e o denominador 16 também é positivo. Logo
Logo, em todo lugar
.
Passo 3
Verificar que a integral dupla vale 1.
Como é zero fora de
,
, basta integrar nesse retângulo:
Como
- Integramos em
:
- Agora em
:
Perfeito, a integral é 1.
Resposta
Como
e
, concluímos que
é uma legítima f.d.p. conjunta de
e
.