Mostre que a f(x, y) abaixo é uma legítma f.d.p. conjunta de X e Y.
f(x, y)=3-y16 IX(0,4) IY(0,2)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos a função
f(x,y)=3-y16,IX(0,4),IY(0,2)
e queremos mostrar que ela é uma densidade de probabilidade conjunta (f.d.p.) de e .
Conteúdo da matéria: probabilidade contínua, definição de densidade conjunta.
O que vamos precisar:
  • Mostrar que em todo o domínio.
  • Mostrar que .

Passo 2

Verificar não-negatividade.
  • Para f(x,y)=3-y16>0 ou , os indicadores ou anulam , então .
  • Para e , temos e o denominador 16 também é positivo. Logo
Logo, em todo lugar .

Passo 3

Verificar que a integral dupla vale 1.
Como integral dupla f(x,y),dx,dy =integraly=0^2integralx=0^43-y16,dx,dy é zero fora de integral0^43-y16,dx =3-y16cdotl[xr]0^4 =3-y16cdot 4 =3-y4 , integral0^23-y4,dy =14integral0^2(3-y),dy =14l[3y-tfracy^22r]0^2 =14l(3cdot2-tfrac2^22r) =14(6-2) =44 =1 , basta integrar nesse retângulo:
  1. Integramos em :
  1. Agora em :
Perfeito, a integral é 1.

Resposta

Como e , concluímos que é uma legítima f.d.p. conjunta de e .

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