- É proibido o uso de calculadora.
- Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Calcule
, em que
e
é a superfície do paraboloide
(com
com orientação para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
de
através do paraboloide
até
, orientado para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com o disco no plano
.
Passo 2
Adicionamos o disco
de raio
em
para fechar o volume
limitado por
e
. Pelo Teorema da Divergência,
onde a orientação em
é para cima (vetor normal
), que coincide com a saída do volume.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
O fluxo total pelo fecho é o volume de
:
Passo 5
Agora calculamos o fluxo através do disco
: aqui
e o normal
, então
.
Passo 6
Por fim, o fluxo pedido pelo paraboloide
(orientado para fora) é
Resposta
-\nfrac{81\pi}{2}