• É proibido o uso de calculadora.
  • Respostas sem justificativa não serão consideradas.
    (3,0) Calcule integral duplaS F cdot d S, em que F(x, y, z)=(y, x, z) e S é a superfície do paraboloide z=x^2+y^2 (com z <= 9) com orientação para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo integral duplaS Fcdot d S de F(x,y,z)=(y,x,z) através do paraboloide z=x^2+y^2 até z=9, orientado para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com o disco no plano z=9.

Passo 2

Adicionamos o disco D de raio 3 em z=9 para fechar o volume V limitado por S e D. Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaS+ D Fcdot d S=integral triplaVnablacdot F,dV,
onde a orientação em D é para cima (vetor normal (0,0,1)), que coincide com a saída do volume.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F=partial ypartial x+partial xpartial y+partial zpartial z=0+0+1=1,

Passo 4

O fluxo total pelo fecho é o volume de V:
integral triplaV1,dV=integral0^2pi!integral0^3(9-r^2),r,dr,dtheta=2piintegral0^3(9r-r^3)dr=2pil[tfrac9r^22-tfracr^44r]0^3=81pi2,

Passo 5

Agora calculamos o fluxo através do disco D: aqui F=(y,x,9) e o normal n=(0,0,1), então Fcdot n=9.
integral duplaD Fcdot d S=integral duplaD9,dS=9cdotpicdot3^2=81pi,

Passo 6

Por fim, o fluxo pedido pelo paraboloide S (orientado para fora) é
integral duplaS Fcdot d S=integral duplaS+D Fcdot d S-integral duplaD Fcdot d S=81pi2-81pi=-81pi2,

Resposta

-\nfrac{81\pi}{2}

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