• É proibido o uso de calculadora.
  • Respostas sem justificativa não serão consideradas.
    (3,5) Calcule integral duplaS F cdot d S, em que F(x, y, z)=(2 x, 3 y, z^2) e S é a superfície do paralelepípedo E= (x, y, z) in R^3: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 3 sem a tampa (isto é, superfície lateral e base) com orientação para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vec F(x,y,z)=(2x,3y,z^2) através da superfície do paralelepípedo E=[0,1]times[0,2]times[0,3] sem a tampa (z=3), com orientação para fora. O conteúdo principal é fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro calculamos a divergência de vec F:
$$
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(3y) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2 + 3 + 2z = 5 + 2z.
$$
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total na superfície fechada (incluindo a tampa) é
$$
\Phi_{total} = \iiint_{E}(5+2z),dV.
$$

Passo 3

Agora fazemos o integral triplo:
$$
\int_{x=0}{1}\int_{y=0}{2}\int_{z=0}^{3}(5+2z),dz,dy,dx
= \left(\int_{0}{3}(5+2z),dz\right)\cdot\left(\int_{0}{2}dy\right)\cdot\left(\int_{0}^{1}dx\right).
$$
Calculando:
integralx=0^1integraly=0^2integralz=0^3(5+2z),dz,dy,dx = (integral0^3(5+2z),dz)cdot(integral0^2dy)cdot(integral0^1dx)
integral0^3(5+2z)dz = [5z+z^2]0^3 = 15+9 = 24,
Logo,
$$
\Phi_{total} = 24 \times 2 \times 1 = 48.
$$

Passo 4

Agora calculamos o fluxo apenas pela tampa em z=3. O vetor normal externo é +hat k, então
$$
\vec F\cdot n = z^2 \big|_{z=3} = 9.
$$
A área da tampa é vec Fcdot n = z^2 |z=3 = 9 , portanto
$$
\Phi_{tampa} = 9 \times 2 = 18.
$$

Passo 5

Como queremos a superfície sem a tampa, subtraímos:
$$
\Phi_{S} = \Phi_{total} - \Phi_{tampa} = 48 - 18 = 30.
$$

Resposta

30

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