- É proibido o uso de calculadora.
- Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Calcule
, em que
e
é a superfície do paralelepípedo
sem a tampa (isto é, superfície lateral e base) com orientação para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície do paralelepípedo
sem a tampa
, com orientação para fora. O conteúdo principal é fluxo de campo vetorial e vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro calculamos a divergência de
:
$$
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(3y) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2 + 3 + 2z = 5 + 2z.
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(3y) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2 + 3 + 2z = 5 + 2z.
$$
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total na superfície fechada (incluindo a tampa) é
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total na superfície fechada (incluindo a tampa) é
$$
\Phi_{total} = \iiint_{E}(5+2z),dV.
\Phi_{total} = \iiint_{E}(5+2z),dV.
$$
Passo 3
Agora fazemos o integral triplo:
$$
\int_{x=0}{1}\int_{y=0}{2}\int_{z=0}^{3}(5+2z),dz,dy,dx
= \left(\int_{0}{3}(5+2z),dz\right)\cdot\left(\int_{0}{2}dy\right)\cdot\left(\int_{0}^{1}dx\right).
\int_{x=0}{1}\int_{y=0}{2}\int_{z=0}^{3}(5+2z),dz,dy,dx
= \left(\int_{0}{3}(5+2z),dz\right)\cdot\left(\int_{0}{2}dy\right)\cdot\left(\int_{0}^{1}dx\right).
$$
Calculando:
Logo,
$$
\Phi_{total} = 24 \times 2 \times 1 = 48.
\Phi_{total} = 24 \times 2 \times 1 = 48.
$$
Passo 4
Agora calculamos o fluxo apenas pela tampa em
. O vetor normal externo é
, então
$$
\vec F\cdot n = z^2 \big|_{z=3} = 9.
\vec F\cdot n = z^2 \big|_{z=3} = 9.
$$
A área da tampa é , portanto
A área da tampa é
$$
\Phi_{tampa} = 9 \times 2 = 18.
\Phi_{tampa} = 9 \times 2 = 18.
$$
Passo 5
Como queremos a superfície sem a tampa, subtraímos:
$$
\Phi_{S} = \Phi_{total} - \Phi_{tampa} = 48 - 18 = 30.
\Phi_{S} = \Phi_{total} - \Phi_{tampa} = 48 - 18 = 30.
$$