Combinações lineares de vetores têm diversas aplicações em álgebra linear. Utilize seus conhecimentos sobre independência e dependência linear para determinar qual das triplas de vetores a seguir forma um conjunto linearmente independente.
Escolha uma opção:
a.
\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]
b.
\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]
c.
\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 3 \\\\ 15 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 0 \\\\ 15 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]
d. \left[\begin{array}{c}1 \\\\ 13 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 17 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]
e.
\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre cinco triplas de vetores em \mathbb{R}^3, qual forma um conjunto linearmente independente. O conteúdo principal é: três vetores em \mathbb{R}^3 são independentes se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas for diferente de zero. Vamos usar esse critério para checar cada alternativa.

Passo 2

Lembrando que, para vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 em \mathbb{R}^3, eles são linearmente independentes se
\det\bigl[\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2\;\mathbf{v}_3\bigr]\neq 0.
Caso o determinante seja zero, há dependência linear.

Passo 3

Alternativa (a):
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\; \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Formamos a matriz
M_a=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(M_a) =1\,(0\cdot 0 - 1\cdot1)\;-\;1\,(1\cdot0 - 1\cdot1)\;+\;0\,(1\cdot1 - 0\cdot1) =-1 -(-1) + 0 = 0.
Como o determinante é zero, a alternativa (a) é dependente.

Passo 4

Alternativa (b):
\mathbf{w}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\; \mathbf{w}_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; \mathbf{w}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
A matriz
M_b=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}
tem
\det(M_b) =1\,(0\cdot3 - 2\cdot0)\;-\;1\,(2\cdot3 - 2\cdot3)\;+\;0 = 0 - (6-6) = 0,
logo é dependente.

Passo 5

Alternativa (c):
\mathbf{u}_1=\begin{pmatrix}5\\\ 3\\\ 15\end{pmatrix},\; \mathbf{u}_2=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 15\end{pmatrix},\; \mathbf{u}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
M_c=\begin{pmatrix} 5 & 5 & 0\\\\ 3 & 0 & 1\\\\ 15 & 15 & 0 \end{pmatrix}, \quad \det(M_c) =5\,(0\cdot0 - 1\cdot15)\;-\;5\,(3\cdot0 - 1\cdot15)\;+\;0 = -75 -(-75) = 0.
Alternativa (d) já falha porque um dos vetores é \mathbf{0}, e isso garante dependência.

Passo 6

Alternativa (e):
\mathbf{z}_1=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\; \mathbf{z}_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\; \mathbf{z}_3=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
M_e=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_e) =0\,(0\cdot0 - 1\cdot1)\;-\;1\,(1\cdot0 - 1\cdot1)\;+\;1\,(1\cdot1 - 0\cdot1) =0 -(-1) + 1 = 2\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, essa tripla é linearmente independente.

Resposta

(e)

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