- Se
for derivável, então
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado afirma e o que é pedido. O enunciado diz: “Se
for derivável, então
.”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Foi dito apenas que
é derivável (presumivelmente em pontos onde for necessário). - A expressão considera a função composta
. Isso exige que esteja no domínio de , então normalmente consideramos (ou se for definida e derivável em ).\n
O que o enunciado pede (implícito): verificar se a igualdade proposta é correta e, se não for, mostrar a forma correta e um motivo (ex.: demonstração e/ou contraexemplo).
Passo 2
Vamos lembrar uma regra fundamental: a regra da cadeia. A regra da cadeia diz como derivar uma composição de funções.\n
Se tivermos duas funções e
e a função composta
, então a derivada de
é dada por:
Se tivermos duas funções
Aqui:
-
é a derivada de avaliada no ponto (ou seja, toma como argumento o valor interno ), -
é a derivada de em .\n
Explicando em palavras: ao derivarfaz-se primeiro a derivada de em relação ao seu argumento (mantendo o argumento ), e multiplica-se pelo crescimento instantâneo de em .
Passo 3
No nosso caso temos
. Identificamos:
-
, - então
(para ).\n
Aplicando a regra da cadeia:
Note com atenção: a derivada
é avaliada em
, não em
. Essa é a parte que costuma causar confusão.
Passo 4
Agora vou mostrar que a fórmula proposta no enunciado,
, está errada em geral porque coloca
avaliada em
em vez de em
. Para tornar essa diferença óbvia, apresento um contraexemplo concreto.
Passo 5
Contraexemplo: escolha
. Então:
-
.\n
Calcule a derivada dediretamente: -
, - portanto
\n
Agora calcule a expressão proposta no enunciado:
Para, por exemplo,
a expressão proposta dá
, enquanto a derivada verdadeira é
. Logo a igualdade do enunciado falha.
Passo 6
Comentário didático / intuição: quando se tem uma composição
, a derivada de
deve ser avaliada no valor atual do argumento interno, que é
. No problema
, então
precisa ser avaliada em
. Esquecer desse deslocamento (avaliar
em
em vez de em
) é o erro cometido pelo enunciado.
Passo 7
Dica prática para prova: ao ver uma composição do tipo
, mentalmente identifique o “algo” como
e aplique a regra da cadeia
. Se fizer isso passo a passo não há erro: primeiro derive
, depois avalie
no
e multiplique.
Resposta
Falso.
.