1. Se f for derivável, então \frac{d}{d x} f(\sqrt{x})=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado afirma e o que é pedido. O enunciado diz: “Se f for derivável, então \dfrac{d}{dx} f(\sqrt{x})=\dfrac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}.”\n
Informações dadas:
  • Foi dito apenas que f é derivável (presumivelmente em pontos onde for necessário).
  • A expressão considera a função composta x \mapsto f(\sqrt{x}). Isso exige que \sqrt{x} esteja no domínio de f, então normalmente consideramos x>0 (ou x\ge0 se f for definida e derivável em 0).\n
    O que o enunciado pede (implícito): verificar se a igualdade proposta é correta e, se não for, mostrar a forma correta e um motivo (ex.: demonstração e/ou contraexemplo).

Passo 2

Vamos lembrar uma regra fundamental: a regra da cadeia. A regra da cadeia diz como derivar uma composição de funções.\n
Se tivermos duas funções f e g e a função composta h(x)=f(g(x)), então a derivada de h é dada por:
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui:
  • f' é a derivada de f avaliada no ponto g(x) (ou seja, f' toma como argumento o valor interno g(x)),
  • g'(x) é a derivada de g em x.\n
    Explicando em palavras: ao derivar f(g(x)) faz-se primeiro a derivada de f em relação ao seu argumento (mantendo o argumento g(x)), e multiplica-se pelo crescimento instantâneo de g em x.

Passo 3

No nosso caso temos h(x)=f(\sqrt{x}). Identificamos:
  • g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},
  • então g'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (para x>0).\n
    Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}f(\sqrt{x})=f'(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Note com atenção: a derivada f' é avaliada em \sqrt{x}, não em x. Essa é a parte que costuma causar confusão.

Passo 4

Agora vou mostrar que a fórmula proposta no enunciado, \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{x}}, está errada em geral porque coloca f' avaliada em x em vez de em \sqrt{x}. Para tornar essa diferença óbvia, apresento um contraexemplo concreto.

Passo 5

Contraexemplo: escolha f(t)=t^{2}. Então:
  • f'(t)=2t.\n
    Calcule a derivada de f(\sqrt{x}) diretamente:
  • f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^{2}=x,
  • portanto \dfrac{d}{dx}f(\sqrt{x})=\dfrac{d}{dx}x=1.\n
    Agora calcule a expressão proposta no enunciado:
\frac{f'(x)}{2\sqrt{x}}=\frac{2x}{2\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}.
Para, por exemplo, x=4 a expressão proposta dá \sqrt{4}=2, enquanto a derivada verdadeira é 1. Logo a igualdade do enunciado falha.

Passo 6

Comentário didático / intuição: quando se tem uma composição f(g(x)), a derivada de f deve ser avaliada no valor atual do argumento interno, que é g(x). No problema g(x)=\sqrt{x}, então f' precisa ser avaliada em \sqrt{x}. Esquecer desse deslocamento (avaliar f' em x em vez de em \sqrt{x}) é o erro cometido pelo enunciado.

Passo 7

Dica prática para prova: ao ver uma composição do tipo f(\text{algo}(x)), mentalmente identifique o “algo” como g(x) e aplique a regra da cadeia f'(g(x))\cdot g'(x). Se fizer isso passo a passo não há erro: primeiro derive g, depois avalie f' no g(x) e multiplique.

Resposta

Falso. \displaystyle \frac{d}{dx}f(\sqrt{x})=\frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.

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