Explique como funciona a derivação implícita.
Explique como funciona a derivação implícita.

Passo 1

Você pediu para eu explicar como funciona a derivação implícita. Vou listar claramente o que vou cobrir nesta explicação (essas são as “perguntas” implícitas do seu pedido):
  • O que é derivação implícita e por que a usamos.
  • Por que aparece o termo \dfrac{dy}{dx} quando diferenciamos expressões com y.
  • Um procedimento passo a passo prático para aplicar em prova.
  • Exemplos resolvidos passo a passo (com contas detalhadas que você consegue reproduzir sem calculadora).
  • Como obter derivadas de ordem superior (breve explicação).
  • Dicas e armadilhas comuns para não escorregar na prova.

Passo 2

Ideia principal — o que é e por que usar.
Algumas equações relacionam x e y sem isolar y em função de x. Por exemplo x^{2}+y^{2}=25 descreve um círculo e não escrevemos y explicitamente. A derivação implícita serve para obter a derivada \dfrac{dy}{dx} quando a relação é dada de forma implícita. A ideia é: suponha que y depende de x (ou seja, y=y(x)). Diferencie ambos os lados da igualdade em relação a x, aplicando as regras normais (produto, cadeia, etc.), e sempre que derivar uma expressão que contenha y use a regra da cadeia, multiplicando pela \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Regra da cadeia aplicada a y — por que aparece \dfrac{dy}{dx}.
Se y é função de x, uma expressão como y^{n} é, na verdade, uma composição u(x)=\bigl(y(x)\bigr)^{n}. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{n}\bigr)=n\,y^{n-1}\cdot\frac{dy}{dx}.
Isso vale para qualquer função composta: se temos f(y(x)), então
\frac{d}{dx}f(y(x))=f'(y(x))\cdot\frac{dy}{dx}.
Por isso, ao diferenciar termos com y surge sempre um fator \dfrac{dy}{dx} (que às vezes escrevemos como y').

Passo 4

Procedimento prático (passo a passo) que devo seguir numa prova
  1. Trate y como função de x: escreva mentalmente y=y(x).
  2. Diferencie ambos os lados da igualdade em relação a x.
  3. Ao derivar termos que envolvem y, aplique a regra da cadeia (multiplique pelo \dfrac{dy}{dx}).
  4. Use produto/quociente/ potência quando necessário (sempre lembrando da cadeia).
  5. Ao final, isole \dfrac{dy}{dx} (ou y') resolvendo algebricamente.
  6. Se for pedir valor num ponto, substitua x e y e calcule \dfrac{dy}{dx} numérico.

Passo 5

Exemplo 1 — círculo: x^{2}+y^{2}=25. Quero \dfrac{dy}{dx}.
Diferencio termo a termo em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(25\bigr).
Calculo cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\cdot\frac{dy}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(25\bigr)=0.
Logo:
2x+2y\frac{dy}{dx}=0.
Isolo \dfrac{dy}{dx}:
2y\frac{dy}{dx}=-2x \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}.
Interpretação: a inclinação da tangente em (x,y) da circunferência é \displaystyle -\frac{x}{y}. Se quiser a inclinação num ponto específico, por exemplo (3,4) (que satisfaz 3^{2}+4^{2}=25), então
\frac{dy}{dx}\Big|_{(3,4)}=-\frac{3}{4}.

Passo 6

Exemplo 2 — uma relação com produto e termo em y^{3}: x y + y^{3}=x. Quero \dfrac{dy}{dx}.
Diferencio ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr).
Agora, xy é produto de x e y(x), então uso a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=\underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{=1}\cdot y + x\cdot\underbrace{\frac{d}{dx}(y)}_{=\frac{dy}{dx}} = y + x\frac{dy}{dx}.
E
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
Substituindo:
y + x\frac{dy}{dx} + 3y^{2}\frac{dy}{dx}=1.
Agrupo os termos com \dfrac{dy}{dx}:
x\frac{dy}{dx}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=1-y.
Fatoro \dfrac{dy}{dx}:
\left(x+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=1-y.
Isolo \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1-y}{x+3y^{2}}.
Se for pedir valor em (x,y)=(1,0) (verifique que o ponto satisfaz a equação original: 1\cdot0+0^{3}=0=1? não, não satisfaz — então não é ponto válido). Sempre verifique que o ponto pertence à curva antes de avaliar.

Passo 7

Exemplo 3 — função implícita mais complicada: \sin(xy)+x^{2}y= \cos(y). Quero \dfrac{dy}{dx}.
Diferencio ambos os lados:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(xy)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos(y)\bigr).
Agora aplique regra da cadeia e produto quando preciso.
  1. Para \sin(xy): é \sin(u) com u=xy. Então
\frac{d}{dx}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy).
E já sabemos \dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\frac{dy}{dx} (regra do produto). Logo
\frac{d}{dx}\sin(xy)=\cos(xy)\bigl(y+x\frac{dy}{dx}\bigr).
  1. Para x^{2}y: produto de x^{2} por y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot\frac{dy}{dx}=2x y + x^{2}\frac{dy}{dx}.
  1. Para \cos(y): cadeia simples:
\frac{d}{dx}\cos(y)=-\sin(y)\cdot\frac{dy}{dx}.
Juntando tudo:
\cos(xy)\bigl(y+x\frac{dy}{dx}\bigr)+2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}=-\sin(y)\frac{dy}{dx}.
Expandindo o primeiro termo:
\cos(xy)\,y+\cos(xy)\,x\frac{dy}{dx}+2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}=-\sin(y)\frac{dy}{dx}.
Agrupo todos os termos com \dfrac{dy}{dx} do mesmo lado:
\cos(xy)\,y+2xy = -\cos(xy)\,x\frac{dy}{dx}-x^{2}\frac{dy}{dx}-\sin(y)\frac{dy}{dx}.
Multiplico por -1 e coloco \dfrac{dy}{dx} positivo:
-\cos(xy)\,y-2xy = \bigl(\cos(xy)\,x + x^{2} + \sin(y)\bigr)\frac{dy}{dx}.
Finalmente:
\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos(xy)\,y+2xy}{\cos(xy)\,x + x^{2} + \sin(y)}.
Observação: temos que ter cuidado para o denominador não ser zero no ponto avaliado.

Passo 8

Derivadas de ordem superior (rapidamente como proceder).
Para obter a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}:
  1. Primeiro obtenha \dfrac{dy}{dx} implicitamente como nas etapas anteriores.
  2. Diferencie a expressão encontrada para \dfrac{dy}{dx} em relação a x, tratando y como função de x e aplicando regra do quociente/produto e a regra da cadeia sempre que aparecer y.
  3. Substitua \dfrac{dy}{dx} (a expressão já encontrada) sempre que surgir durante essa diferenciação.
    Exemplo curto: para x^{2}+y^{2}=25 vimos \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}. Diferenciando:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right).
Use regra do quociente ou produto ( -x\cdot y^{-1}), lembrando que \dfrac{d}{dx}(y^{-1})=-y^{-2}\dfrac{dy}{dx}. Calcula-se e substitui-se \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} no final para obter uma expressão só em x e y.

Passo 9

Dicas práticas e armadilhas comuns (para prova)
  • Sempre trate y como y(x). Se esquecer disso, você vai perder o fator \dfrac{dy}{dx}.
  • Ao diferenciar y, escreva explicitamente \dfrac{dy}{dx} (ou y'). Isso ajuda a juntar termos depois.
  • Se houver produto envolvendo x e y, aplique regra do produto: derive x e mantenha y, depois mantenha x e derive y (a segunda derivada de y traz \dfrac{dy}{dx}).
  • No final sempre isole \dfrac{dy}{dx} agrupando todos os termos que o multiplicam.
  • Verifique se o ponto onde você avalia pertence realmente à curva implícita antes de substituir.
  • Cuidado com denominadores que podem ser zero — isso indica tangentes verticais (caso o numerador não seja zero) ou pontos singulares.
  • Se a equação puder ser resolvida para y explicitamente de forma razoável, comparar com a derivada explícita pode ser um bom teste de verificação, mas geralmente isso é mais trabalhoso.

Passo 10

Como eu recomendo que você pratique (rápido plano para os próximos dias)
  • Faça 5 exercícios de nível básico (círculos, elipses, hipérboles): foque em aplicar regra da cadeia simples.
  • Faça 5 com produtos/-potências mistas (como xy+y^{3}=x).
  • Faça 3 com funções trigonométricas/exponenciais compostas (como o exemplo com \sin(xy) e \cos(y)).
  • Para cada exercício, faça: (a) diferenciar; (b) isolar \dfrac{dy}{dx}; (c) avaliar em pontos se pedir.

Passo 11

Resumo final (curto e prático para a prova)
  • Ao derivar implicitamente: diferencie ambos os lados em relação a x, aplique a regra da cadeia nos termos com y (multiplique por \dfrac{dy}{dx}), agrupe os termos com \dfrac{dy}{dx} e isole \dfrac{dy}{dx}. Pronto — já tem a inclinação da curva em qualquer ponto válido.

Resposta

Trate y como função de x, diferencie ambos os lados em relação a x, aplique a regra da cadeia em todas as ocorrências de y (gerando fatores \dfrac{dy}{dx}), agrupe os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e isole \dfrac{dy}{dx} para obter a derivada implícita.

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