Explique como funciona a derivação implícita.
Explique como funciona a derivação logarítmica.
Explique como funciona a derivação logarítmica.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar como funciona a derivação implícita.
- Explicar como funciona a derivação logarítmica.
Informações dadas:
- Não há nenhum enunciado numérico; o pedido é conceitual e pede também exemplos passo a passo e dicas para aplicar na prova.
Passo 2
O que é derivação implícita (ideia curta, sem fórmulas ainda)
- Serve quando a relação entre
e está dada de forma implícita, isto é, por uma equação que envolve e ao mesmo tempo e não está isolada como . - A ideia principal: assumir que
é uma função de (escrevendo ), diferenciar ambos os lados da equação em relação a usando a regra da cadeia sempre que aparecer , e depois isolar (que é ).
Passo 3
Fórmula compacta e explicação das letras (ferramenta muito útil)
- Se a relação pode ser escrita como
(onde é uma função com derivadas parciais), ao diferenciar ambos os lados em relação a obtemos
- Pela regra da cadeia com derivadas parciais isso vira
onde
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante). Daí
- Interpretação:
capta como muda se só mexer em ; capta como muda se só mexer em ; a razão com sinal trocado dá a inclinação da curva implícita.
Passo 4
Algoritmo prático (passo a passo que dá para aplicar na prova)
- Escreva a equação que liga
e (se já não estiver nessa forma, coloque ). - Diferencie ambos os lados em relação a
. - Para cada ocorrência de
, aplique a regra da cadeia: . - Use regra do produto, quociente, cadeia normalmente; sempre que derivar algo que depende de
, multiplique por .
- Para cada ocorrência de
- Depois de diferenciar, agrupe todos os termos que têm
e coloque-os num lado da igualdade. - Isole
por divisão algebraica. - Se for preciso, substitua valores de
e para obter o valor numérico da derivada (ex.: inclinação da tangente num ponto).
Passo 5
Exemplo 1 (círculo) — resolver passo a passo e interpretar
- Dada a curva
. - Diferencie ambos os lados em relação a
:
- Calcule as derivadas:
. Para use cadeia: . E . - Logo
- Isole
:
- Interpretação rápida: a inclinação da tangente na circunferência é
. Se quiser a inclinação no ponto (que está na circunferência), então . Se no ponto, temos tangente vertical (derivada indefinida).
Passo 6
Exemplo 2 (produto e função trigonométrica) — mostrar aplicação de produto, cadeia e solução
- Relação:
. - Diferencie termo a termo:
-
— é produto: . -
(regra da cadeia). -
.
-
- Juntando:
- Agrupe os termos com
:
- Isole
:
- Se for pedir a inclinação num ponto, basta substituir as coordenadas do ponto.
Passo 7
Segunda derivada (noções rápidas)
- Para achar
(segunda derivada) de uma equação implícita, derive a expressão obtida para novamente em relação a , lembrando que agora também é função de (aplica-se produto e cadeia onde aparecer ). Exemplo rápido para o círculo: partindo de , derive:
de onde
- Atenção: neste tipo de conta é comum errar na derivação de termos com
; faça devagar.
Passo 8
Quando usar derivação logarítmica (ideia)
- Use quando a função
é um produto/quotiente de muitos fatores, ou quando a base e o expoente dependem de (por exemplo ). A derivação logarítmica transforma produtos em somas e potências em fatores multiplicativos, simplificando a diferenciação.
Passo 9
Algoritmo prático para derivação logarítmica
- Comece com
(a função que você quer derivar). - Tome logaritmo natural dos dois lados:
. Se existir possibilidade de negativo, use (veja Observação). - Simplifique
usando as propriedades , e . - Diferencie ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo use derivação implícita: . - Resolva para
: (derivada do lado direito). - Substitua de volta
se quiser a expressão só em .
Passo 10
Exemplo 1 de logarítmica muito comum —
- Comece:
. - Tome logaritmo:
. - Diferencie ambos os lados:
- Isole
:
- Substitua
:
- Esse resultado é muito usado em provas — decorar o passo mental "ln, derivar, multiplicar por
" ajuda.
Passo 11
Exemplo 2 de logarítmica com produto/quanto mais complicado melhor (mostrar manipulação)
- Suponha
- Escreva de forma conveniente:
. - Tome logaritmo:
- Diferencie (lado esquerdo dá
):
- Simplifique a direita e então multiplique por
para obter . Resultado:
e, lembrando,
é a expressão original se quiser escrever tudo em termos de
.
Passo 12
Observações e cuidados práticos (coisas que caem em prova)
- Ao diferenciar
use sempre derivação implícita: . - Se
puder ser negativo, escreva . A derivada de é também , então a fórmula final não muda, apenas lembre-se da condição de domínio se for pedir intervalo onde a solução é válida. - Derivação logarítmica é especialmente útil para:
-
(expoente variável), - produtos de muitos fatores,
- potências com expoentes constantes mas bases complicadas (às vezes facilita).
-
- Derivação implícita é a ferramenta sempre que não for fácil (ou for impossível) isolar
como função explícita de . - Erros comuns: esquecer o
ao derivar termos com ; esquecer de multiplicar por no final da logarítmica; confundir derivada parcial com derivada total — trabalhe devagar.
Passo 13
Resumo rápido de como decidir em prova (fluxograma mental)
- Se a equação está na forma
e é simples, diferencie normalmente. - Se a equação envolve
e juntos e não está isolado: usar derivação implícita. - Se
é produto de muitos fatores ou tem forma : usar derivação logarítmica (que usa implicitamente a derivação implícita quando derivamos ).
Resposta
Derivação implícita: Para
diferencie em
tratando
:
, logo
.
Derivação logarítmica: Para
com muitos fatores ou expoente variável, tome
:
, diferencie
e isole
:
. Ex.:
.