Explique como funciona a derivação implícita.
Explique como funciona a derivação logarítmica.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar como funciona a derivação implícita.
  • Explicar como funciona a derivação logarítmica.
Informações dadas:
  • Não há nenhum enunciado numérico; o pedido é conceitual e pede também exemplos passo a passo e dicas para aplicar na prova.

Passo 2

O que é derivação implícita (ideia curta, sem fórmulas ainda)
  • Serve quando a relação entre x e y está dada de forma implícita, isto é, por uma equação que envolve x e y ao mesmo tempo e não está isolada como y=f(x).
  • A ideia principal: assumir que y é uma função de x (escrevendo y=y(x)), diferenciar ambos os lados da equação em relação a x usando a regra da cadeia sempre que aparecer y, e depois isolar y' (que é \dfrac{dy}{dx}).

Passo 3

Fórmula compacta e explicação das letras (ferramenta muito útil)
  • Se a relação pode ser escrita como F(x,y)=0 (onde F é uma função com derivadas parciais), ao diferenciar ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}F(x,y(x))=0.
  • Pela regra da cadeia com derivadas parciais isso vira
F_x(x,y)+F_y(x,y)\,y'=0,
onde F_x é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y como constante) e F_y é a derivada parcial de F em relação a y (tratando x como constante). Daí
y' = -\dfrac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
  • Interpretação: F_x capta como F muda se só mexer em x; F_y capta como F muda se só mexer em y; a razão com sinal trocado dá a inclinação da curva implícita.

Passo 4

Algoritmo prático (passo a passo que dá para aplicar na prova)
  1. Escreva a equação que liga x e y (se já não estiver nessa forma, coloque =\!0).
  2. Diferencie ambos os lados em relação a x.
    • Para cada ocorrência de y, aplique a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}y(x)=y'.
    • Use regra do produto, quociente, cadeia normalmente; sempre que derivar algo que depende de y, multiplique por y'.
  3. Depois de diferenciar, agrupe todos os termos que têm y' e coloque-os num lado da igualdade.
  4. Isole y' por divisão algebraica.
  5. Se for preciso, substitua valores de x e y para obter o valor numérico da derivada (ex.: inclinação da tangente num ponto).

Passo 5

Exemplo 1 (círculo) — resolver passo a passo e interpretar
  • Dada a curva \,x^{2}+y^{2}=25.
  • Diferencie ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{d}{dx}(25).
  • Calcule as derivadas: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Para \dfrac{d}{dx}(y^{2}) use cadeia: \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y'. E \dfrac{d}{dx}(25)=0.
  • Logo
2x+2y\,y'=0.
  • Isole y':
y'=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}.
  • Interpretação rápida: a inclinação da tangente na circunferência é -x/y. Se quiser a inclinação no ponto (3,4) (que está na circunferência), então y'=-3/4. Se y=0 no ponto, temos tangente vertical (derivada indefinida).

Passo 6

Exemplo 2 (produto e função trigonométrica) — mostrar aplicação de produto, cadeia e solução
  • Relação: \,x^{2}y+\sin(y)=x.
  • Diferencie termo a termo:
    • \dfrac{d}{dx}(x^{2}y) — é produto: \dfrac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot \dfrac{d}{dx}y = 2x y + x^{2} y'.
    • \dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos(y)\cdot y' (regra da cadeia).
    • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • Juntando:
2x y + x^{2} y' + \cos(y)\,y' = 1.
  • Agrupe os termos com y':
\bigl(x^{2}+\cos(y)\bigr)y' = 1-2x y.
  • Isole y':
y'=\frac{1-2x y}{x^{2}+\cos(y)}.
  • Se for pedir a inclinação num ponto, basta substituir as coordenadas do ponto.

Passo 7

Segunda derivada (noções rápidas)
  • Para achar y'' (segunda derivada) de uma equação implícita, derive a expressão obtida para y' novamente em relação a x, lembrando que agora y' também é função de x (aplica-se produto e cadeia onde aparecer y'). Exemplo rápido para o círculo: partindo de 2x+2y y'=0, derive:
2 + 2(y')^{2} + 2y\,y'' = 0,
de onde
y'' = -\frac{1+(y')^{2}}{y}.
  • Atenção: neste tipo de conta é comum errar na derivação de termos com y'; faça devagar.

Passo 8

Quando usar derivação logarítmica (ideia)
  • Use quando a função y é um produto/quotiente de muitos fatores, ou quando a base e o expoente dependem de x (por exemplo y=f(x)^{g(x)}). A derivação logarítmica transforma produtos em somas e potências em fatores multiplicativos, simplificando a diferenciação.

Passo 9

Algoritmo prático para derivação logarítmica
  1. Comece com y=f(x) (a função que você quer derivar).
  2. Tome logaritmo natural dos dois lados: \ln y = \ln f(x). Se existir possibilidade de y negativo, use \ln|y| (veja Observação).
  3. Simplifique \ln f(x) usando as propriedades \ln(AB)=\ln A+\ln B, \ln(A/B)=\ln A-\ln B e \ln(A^{k})=k\ln A.
  4. Diferencie ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo use derivação implícita: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}.
  5. Resolva para y': y' = y\cdot (derivada do lado direito).
  6. Substitua de volta y=f(x) se quiser a expressão só em x.

Passo 10

Exemplo 1 de logarítmica muito comum — y=x^{x}
  • Comece: y=x^{x}.
  • Tome logaritmo: \ln y = \ln\bigl(x^{x}\bigr) = x\ln x.
  • Diferencie ambos os lados:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}(x\ln x) = \ln x + 1.
  • Isole y':
y' = y\bigl(\ln x + 1\bigr).
  • Substitua y=x^{x}:
y' = x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).
  • Esse resultado é muito usado em provas — decorar o passo mental "ln, derivar, multiplicar por y" ajuda.

Passo 11

Exemplo 2 de logarítmica com produto/quanto mais complicado melhor (mostrar manipulação)
  • Suponha
y=\frac{(x^{2}+1)^{3}\sqrt{x}}{e^{2x}(x+1)^{4}}.
  • Escreva de forma conveniente: y=(x^{2}+1)^{3}x^{1/2}e^{-2x}(x+1)^{-4}.
  • Tome logaritmo:
\ln y = 3\ln(x^{2}+1) + \tfrac{1}{2}\ln x -2x -4\ln(x+1).
  • Diferencie (lado esquerdo dá y'/y):
\frac{y'}{y} = 3\cdot\frac{2x}{x^{2}+1} + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} -2 -4\cdot\frac{1}{x+1}.
  • Simplifique a direita e então multiplique por y para obter y'. Resultado:
y' = y\left(\frac{6x}{x^{2}+1} + \frac{1}{2x} -2 -\frac{4}{x+1}\right),
e, lembrando, y é a expressão original se quiser escrever tudo em termos de x.

Passo 12

Observações e cuidados práticos (coisas que caem em prova)
  • Ao diferenciar \ln y use sempre derivação implícita: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}.
  • Se y puder ser negativo, escreva \ln|y|. A derivada de \ln|y| é também \dfrac{y'}{y}, então a fórmula final não muda, apenas lembre-se da condição de domínio se for pedir intervalo onde a solução é válida.
  • Derivação logarítmica é especialmente útil para:
    • y=f(x)^{g(x)} (expoente variável),
    • produtos de muitos fatores,
    • potências com expoentes constantes mas bases complicadas (às vezes facilita).
  • Derivação implícita é a ferramenta sempre que não for fácil (ou for impossível) isolar y como função explícita de x.
  • Erros comuns: esquecer o y' ao derivar termos com y; esquecer de multiplicar por y no final da logarítmica; confundir derivada parcial com derivada total — trabalhe devagar.

Passo 13

Resumo rápido de como decidir em prova (fluxograma mental)
  • Se a equação está na forma y=f(x) e é simples, diferencie normalmente.
  • Se a equação envolve x e y juntos e y não está isolado: usar derivação implícita.
  • Se y é produto de muitos fatores ou tem forma f(x)^{g(x)}: usar derivação logarítmica (que usa implicitamente a derivação implícita quando derivamos \ln y).

Resposta

Derivação implícita: Para F(x,y)=0 diferencie em x tratando y=y(x): \dfrac{d}{dx}F(x,y)=F_x+F_y\,y'=0, logo \displaystyle y'=-\dfrac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
Derivação logarítmica: Para y=f(x) com muitos fatores ou expoente variável, tome \ln: \ln y=\ln f(x), diferencie \dfrac{y'}{y}=(\ln f(x))' e isole y': \displaystyle y'=y\cdot(\ln f(x))'. Ex.: y=x^{x}\Rightarrow y'=x^{x}(\ln x+1).

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