Se f for uma função diferenciável de duas variáveis u e v, seja u=x-y e. v=y-x; prove que
z=f(x-y, y-x) satisfaz a equação partial zpartial x+partial zpartial y=0 çã

Passo 1

O exercício define uma função composta z(x,y)=f(u,v) com u=x−y e v=y−x, e pede para mostrar que z satisfaz a equação ∂z/∂x+∂z/∂y=0. O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Pela regra da cadeia, temos
partial zpartial x=fu(u,v)cdotpartial upartial x+fv(u,v)cdotpartial vpartial x
Como u=x−y→∂u/∂x=1 e v=y−x→∂v/∂x=−1, segue
partial zpartial x=fu(u,v)cdot1+fv(u,v)cdot(-1)=fu(u,v)-fv(u,v)

Passo 3

De modo análogo, aplicando a regra da cadeia para y,
partial zpartial y=fu(u,v)cdotpartial upartial y+fv(u,v)cdotpartial vpartial y
Aqui ∂u/∂y=−1 e ∂v/∂y=1, logo
partial zpartial y=fu(u,v)cdot(-1)+fv(u,v)cdot1=-fu(u,v)+fv(u,v)

Passo 4

Somando as duas derivadas parciais, obtemos
partial zpartial x+partial zpartial y=(fu-fv)+(-fu+fv)=0
Isso é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

partial zpartial x+partial zpartial y=0

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