Se
for uma função diferenciável de duas variáveis
e
, seja
e.
; prove que
Passo 1
O exercício define uma função composta z(x,y)=f(u,v) com u=x−y e v=y−x, e pede para mostrar que z satisfaz a equação ∂z/∂x+∂z/∂y=0. O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Passo 2
Pela regra da cadeia, temos
Como u=x−y→∂u/∂x=1 e v=y−x→∂v/∂x=−1, segue
Passo 3
De modo análogo, aplicando a regra da cadeia para y,
Aqui ∂u/∂y=−1 e ∂v/∂y=1, logo
Passo 4
Somando as duas derivadas parciais, obtemos
Isso é exatamente o que queríamos provar.