O polinômio de Taylor de grau 2 da função f(x, y)=x y+e^y no ponto (0,0) é:
Escolha uma opção:
Q(x, y)=1+y+2 x y+12 y^2
Q(x, y)=1+x y+x^2
Q(x, y)=x+y+x y
Q(x, y)=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x,y)=x·y+e^{y} em (0,0). Vamos usar a definição de Taylor multivariável até termos de segunda ordem, precisando de f(0,0), gradiente e Hessiana em (0,0).

Passo 2

Calcular f(0,0), primeiras derivadas e segundas derivadas em (0,0):
As derivadas parciais são:
f(x,y)=x·y+e^{y}
f(0,0)=0·0+e^0=1
fx(x,y)=y logo fx(0,0)=0
fy(x,y)=x+e^y logo fy(0,0)=0+1=1
Segundas derivadas:
fxx(x,y)=0 logo fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=1 logo fxy(0,0)=1
fyy(x,y)=e^y logo fyy(0,0)=e^0=1

Passo 3

Montar o polinômio de Taylor de grau 2:
A fórmula geral é
Q(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)
Substituindo os valores:
Q(x,y)=1+0·x+1·y+12l(0·x^2+2·1·x y+1·y^2r)
Isso simplifica para
Q(x,y)=1+y+x y+12y^2

Resposta

Q(x,y)=1+y+x y+tfrac12y^2

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