O polinômio de Taylor de grau 2 da função f(x, y)=sen(x^4+y^4) no ponto (0,0) é:
Escolha uma opção:
Q(x, y)=x^2+y^2
Q(x, y)=0
Q(x, y)=x+y+x y
Q(x, y)=1+x y+x^2

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x,y)=sen(x4+y4) no ponto (0,0). Para isso vamos usar a definição de série de Taylor em duas variáveis, que precisa do valor de f(0,0), das derivadas parciais de primeira ordem (f_x,f_y) e de segunda ordem (f_{xx},f_{xy},f_{yy}) avaliadas em (0,0).

Passo 2

Primeiro encontramos o termo constante Q(0,0)=f(0,0). Como x4+y4=0 em (0,0), temos:
f(0,0)=sin(0)=0

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de primeira ordem:
fx=cos(x^4+y^4)cdot4x^3, fy=cos(x^4+y^4)cdot4y^3
Em (0,0) ambas valem zero, pois x^3 e y^3 se anulam:
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

Passo 4

Vamos às derivadas de segunda ordem. Derivando novamente:
fxx=12x^2cos(x^4+y^4)-16x^6sin(x^4+y^4), fyy=12y^2cos(x^4+y^4)-16y^6sin(x^4+y^4), fxy=-16x^3y^3sin(x^4+y^4)Em (0,0) todos os termos têm fator x^2, y^2, x3y3 etc., então:
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=0

Passo 5

Com esses valores, o polinômio de Taylor de grau 2 fica:
Q2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)=0

Resposta

Q(x,y)=0

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