O polinômio de Taylor de grau 2 da função f(x, y)=x sen(x)+y sen(y) no ponto (0,0) é:
Escolha uma opção:
Q(x, y)=x^2+y^2
Q(x, y)=1+x y+x^2
Q(x, y)=x+y+x y
Q(x, y)=y+x y

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x,y)=x sen(x)+y sen(y) no ponto (0,0). O conteúdo envolvido é o desenvolvimento de Taylor em duas variáveis até a segunda ordem, para obter a aproximação quadrática.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de Taylor de segunda ordem, vamos precisar de f(0,0), das derivadas parciais primeiras e segundas em (0,0).
Calculamos f(0,0): substituindo x=0 e y=0 em f(x,y) temos f(0,0)=0·sen(0)+0·sen(0)=0.

Passo 3

Derivadas primeiras:
f_x(x,y)=sen(x)+x cos(x), logo f_x(0,0)=sen(0)+0·cos(0)=0.
f_y(x,y)=sen(y)+y cos(y), logo f_y(0,0)=0.

Passo 4

Derivadas segundas:
f_{xx}(x,y)=\\x7fcos(x)+cos(x)-x sen(x)=2 cos(x)-x sen(x), logo f_{xx}(0,0)=2.
f_{yy}(x,y)=2 cos(y)-y sen(y), logo f_{yy}(0,0)=2.
e f_{xy}(x,y)=0 pois f_x não depende de y.

Passo 5

Agora montamos o polinômio de Taylor de grau 2:
Q(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+tfrac12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r)

Passo 6

Substituindo os valores obtidos:
Q(x,y)=0+0+0+tfrac12l(2x^2+0+2y^2r)=x^2+y^2

Resposta

Q(x,y)=x{2}+y{2}

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