Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
d yd x=y-y^2, y(0)=12

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial \dy/dx = y - y^2, com y(0)=1/2. É uma equação diferencial ordinária separável, então vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma separável. Como y - y^2 = y(1 - y), temos
dydx = y(1-y)
que vira
dyy(1-y) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais. Note que
1y(1-y) = 1y + 11-y
Assim
integral dyy(1-y) = integral l(1y + 11-yr)dy = ln|y| - ln|1-y| + C
No lado direito, integral dx = x + C' Unindo constantes, escrevemos
lny1-y = x + C

Passo 4

Agora eliminamos o logaritmo aplicando exponenciação:
y1-y = e^x+C = Ce^x
Isolando y,
y = Ce^x(1-y) implies y(1+Ce^x) = Ce^x implies y = Ce^x1+Ce^x

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1/2. Para x=0,
y(0) = C1+C = 12 implies C = 1

Passo 6

Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução explícita do PVI:
y(x) = e^x1 + e^x

Resposta

y(x) = e^x1 + e^x

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