Resolva cada PVI dado.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
Observação: A ED dada é separável. A solução pode ser uma função implícita.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial \dy/dx = y - y^2, com y(0)=1/2. É uma equação diferencial ordinária separável, então vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma separável. Como y - y^2 = y(1 - y), temos
que vira
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais. Note que
Assim
No lado direito,
Unindo constantes, escrevemos
Passo 4
Agora eliminamos o logaritmo aplicando exponenciação:
Isolando y,
Passo 5
Usamos a condição inicial y(0)=1/2. Para x=0,
Passo 6
Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução explícita do PVI: