Se
é uma função contínua em um domínio
então a integral dupla
sempre existe. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é sempre verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
-
é contínua em . -
é um domínio qualquer em (o enunciado não impõe que seja limitado, fechado ou de fronteira regular). - Pede-se decidir Verdadeiro ou Falso e justificar.
Passo 2
Definindo com clareza o que significa “a integral dupla existe” (porque isso muda a resposta). Em cálculo existem pelo menos duas interpretações comuns:
- Integral de Riemann dupla propriamente dita sobre uma região limitada e “bem comportada”: para garantir existência (como número finito) costuma-se exigir que
seja limitado e que seja limitada e apropriadamente regular (por exemplo, contínua em um conjunto compacto). Há um teorema padrão: se é contínua em um conjunto compacto então é (Riemann) integrável em e existe e é finita. - Integral imprópria ou integral de Lebesgue: para domínios não limitados ou funções não limitadas pode-se tentar definir uma integral impropria (como limite de integrais em regiões crescentes) ou considerar integrabilidade no sentido de Lebesgue (exigindo
para integrabilidade absoluta). Mesmo assim, nem sempre a integral é finita.
Então: a afirmação sem restrições sobre
é muito ampla — precisamos verificar contra-exemplos onde a continuidade não basta.
Passo 3
Recordando o teorema útil (explicação didática curta):
- Teorema: Se
é contínua em um conjunto compacto (isto é, fechado e limitado), então é limitada e uniformemente contínua em . Com isso é possível controlar a oscilação de em retângulos de uma partição e mostrar que as somas superior e inferior de Riemann se aproximam, logo (Riemann) existe e é finita. - Intuição prática: continuidade + domínio compacto ⇒ não tem “explosões” nem domínio infinito ⇒ somas de Riemann convergem bem.
Mas o enunciado não exige que
seja compacto, então vamos procurar um contraexemplo simples.
Passo 4
Construindo o contraexemplo mais direto (e muito usado): escolha um domínio ilimitado e uma função contínua que não seja integrável em todo esse domínio.
Tomemos
-
é contínua em . - A integral dupla sobre
(no sentido de integrar a função constante sobre todo o plano) mede a “área” do plano multiplicada por , e isto diverge.
Cálculo em coordenadas polares (para ver o divergente):
Portanto a integral (como número finito) não existe — diverge para
. Assim há uma função contínua em um domínio
tal que
não existe como número real finito.
Passo 5
Observações finais e nuances (para a prova e para não se confundir):
- Se o enunciado tivesse acrescentado “se
é compacto (fechado e limitado) e contínua em , então existe”, aí a afirmação seria verdadeira — este é o teorema padrão que garante integrabilidade de funções contínuas em conjuntos compactos. - Se se usar o sentido de integral de Lebesgue, a continuidade não garante automaticamente integrabilidade absoluta: por exemplo a mesma
em tem integral de Lebesgue igual a , isto é, não é integrável no sentido de Lebesgue como número finito. - Em muitos problemas de prova é essencial checar se o domínio é limitado/compacto e se a integração é no sentido de Riemann ou Lebesgue.
Resposta
Falso