Se f é uma função contínua em um domínio D \subset \mathbb{R}^{2} então a integral dupla \iint_{D} f(x, y) d A sempre existe. Verdadeiro ou Falso? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é sempre verdadeira ou falsa:
Afirmativa: “Se f é uma função contínua em um domínio D \subset \mathbb{R}^{2} então a integral dupla \iint_{D} f(x, y)\,dA sempre existe.”
Informações dadas:
  • f é contínua em D.
  • D é um domínio qualquer em \mathbb{R}^{2} (o enunciado não impõe que D seja limitado, fechado ou de fronteira regular).
  • Pede-se decidir Verdadeiro ou Falso e justificar.

Passo 2

Definindo com clareza o que significa “a integral dupla existe” (porque isso muda a resposta). Em cálculo existem pelo menos duas interpretações comuns:
  • Integral de Riemann dupla propriamente dita sobre uma região limitada e “bem comportada”: para garantir existência (como número finito) costuma-se exigir que D seja limitado e que f seja limitada e apropriadamente regular (por exemplo, contínua em um conjunto compacto). Há um teorema padrão: se f é contínua em um conjunto compacto K\subset\mathbb{R}^2 então f é (Riemann) integrável em K e \iint_{K} f existe e é finita.
  • Integral imprópria ou integral de Lebesgue: para domínios não limitados ou funções não limitadas pode-se tentar definir uma integral impropria (como limite de integrais em regiões crescentes) ou considerar integrabilidade no sentido de Lebesgue (exigindo \int |f|<\infty para integrabilidade absoluta). Mesmo assim, nem sempre a integral é finita.
Então: a afirmação sem restrições sobre D é muito ampla — precisamos verificar contra-exemplos onde a continuidade não basta.

Passo 3

Recordando o teorema útil (explicação didática curta):
  • Teorema: Se f é contínua em um conjunto compacto K\subset\mathbb{R}^2 (isto é, K fechado e limitado), então f é limitada e uniformemente contínua em K. Com isso é possível controlar a oscilação de f em retângulos de uma partição e mostrar que as somas superior e inferior de Riemann se aproximam, logo \iint_K f (Riemann) existe e é finita.
  • Intuição prática: continuidade + domínio compacto ⇒ não tem “explosões” nem domínio infinito ⇒ somas de Riemann convergem bem.
Mas o enunciado não exige que D seja compacto, então vamos procurar um contraexemplo simples.

Passo 4

Construindo o contraexemplo mais direto (e muito usado): escolha um domínio ilimitado e uma função contínua que não seja integrável em todo esse domínio.
Tomemos
D=\mathbb{R}^{2}, \qquad f(x,y)=1\quad\text{para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • f é contínua em D.
  • A integral dupla sobre D (no sentido de integrar a função constante 1 sobre todo o plano) mede a “área” do plano multiplicada por 1, e isto diverge.
Cálculo em coordenadas polares (para ver o divergente):
\iint_{\mathbb{R}^2} 1\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left(\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} r\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left(\lim_{R\to\infty}\tfrac{R^{2}}{2}\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi} \infty \, d\theta = \infty.
Portanto a integral (como número finito) não existe — diverge para +\infty. Assim há uma função contínua em um domínio D tal que \iint_{D} f não existe como número real finito.

Passo 5

Observações finais e nuances (para a prova e para não se confundir):
  • Se o enunciado tivesse acrescentado “se D é compacto (fechado e limitado) e f contínua em D, então \iint_D f existe”, aí a afirmação seria verdadeira — este é o teorema padrão que garante integrabilidade de funções contínuas em conjuntos compactos.
  • Se se usar o sentido de integral de Lebesgue, a continuidade não garante automaticamente integrabilidade absoluta: por exemplo a mesma f\equiv1 em D=\mathbb{R}^2 tem integral de Lebesgue igual a +\infty, isto é, não é integrável no sentido de Lebesgue como número finito.
  • Em muitos problemas de prova é essencial checar se o domínio é limitado/compacto e se a integração é no sentido de Riemann ou Lebesgue.

Resposta

Falso

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