Sabendo-se que no ponto (0,1) o gráfico da função f(x)=e^x^2+2 x possui a mesma reta tangente que o de uma certa função g, determine g^prime(0).

Passo 1

O enunciado diz que as curvas de f e g têm a mesma reta tangente no ponto (0,1). Como a reta tangente a uma função em x=0 tem coeficiente angular igual à derivada naquele ponto, basta calcular f'(0) e igualar a g'(0).

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para derivar
f(x)=e^x^2+2x
Temos
f'(x) =ddxe^x^2+2x =e^x^2+2x,ddx(x^2+2x) =e^x^2+2x,(2x+2)

Passo 3

Avaliamo-s em x=0:
f'(0) = e^0^2 + 2 cdot 0 cdot (2 cdot 0 + 2) = e^0 cdot 2 = 2

Passo 4

Como g compartilha a mesma reta tangente em x=0, seu coeficiente angular é o mesmo, ou seja,
g'(0)=f'(0)=2

Resposta

g'(0)=2

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