Se f é uma função real cujo domínio é o plano cartesiano, quais são as condições necessárias para provar que a derivada direcional de f na direção
é igual à norma do gradiente de f multiplicada pelo cosseno de gama, sendo gama a medida do ângulo entre o gradiente de f e o vetor u.
Passo 1
Estamos com uma função real f de domínio ℝ² e queremos mostrar que a derivada direcional de f na direção u=(a,b) é dada por ||∇f||
cos
γ, onde γ é o ângulo entre ∇f e u. O conteúdo é diferenciabilidade em R², gradiente e produto escalar.
cos
γ, onde γ é o ângulo entre ∇f e u. O conteúdo é diferenciabilidade em R², gradiente e produto escalar.
Passo 2
Precisamos que f seja diferenciável (ou seja, f ∈ C¹) num aberto que contenha o ponto em questão, de modo que ∇f§ exista e seja contínuo nesse entorno. Além disso, u=(a,b) deve ser um vetor não nulo (geralmente normalizado para ‖u‖=1).
Passo 3
Pela diferenciabilidade de f em p, temos a expansão de primeira ordem:
Passo 4
Definindo a derivada direcional em p por
Passo 5
O cosseno do ângulo γ entre ∇f§ e u satisfaz
Resposta
As condições necessárias são que f seja diferenciável (f ∈ C¹) num aberto que contenha o ponto e que u seja um vetor não nulo (usualmente normalizado para ‖u‖=1). Assim D_u f§=‖∇f§‖ cos γ.