Se f é uma função real cujo domínio é o plano cartesiano, quais são as condições necessárias para provar que a derivada direcional de f na direção u=(a, b) é igual à norma do gradiente de f multiplicada pelo cosseno de gama, sendo gama a medida do ângulo entre o gradiente de f e o vetor u.

Passo 1

Estamos com uma função real f de domínio ℝ² e queremos mostrar que a derivada direcional de f na direção u=(a,b) é dada por ||∇f||
cos
γ, onde γ é o ângulo entre ∇f e u. O conteúdo é diferenciabilidade em R², gradiente e produto escalar.

Passo 2

Precisamos que f seja diferenciável (ou seja, f ∈ C¹) num aberto que contenha o ponto em questão, de modo que ∇f§ exista e seja contínuo nesse entorno. Além disso, u=(a,b) deve ser um vetor não nulo (geralmente normalizado para ‖u‖=1).

Passo 3

Pela diferenciabilidade de f em p, temos a expansão de primeira ordem:
f(p+h u)=f(p)+∇f(p)cdot(h u)+o(h)

Passo 4

Definindo a derivada direcional em p por
Du f(p)=limh→0f(p+h u)-f(p)h, obtemos
Du f(p)=∇f(p)cdot u

Passo 5

O cosseno do ângulo γ entre ∇f§ e u satisfaz
cosγ=∇f(p)cdot u|∇f(p)|,|u|, então
∇f(p)cdot u=|∇f(p)|,|u|cosγ Se tomarmos ‖u‖=1, conclui-se
Du f(p)=|∇f(p)|cosγ

Resposta

As condições necessárias são que f seja diferenciável (f ∈ C¹) num aberto que contenha o ponto e que u seja um vetor não nulo (usualmente normalizado para ‖u‖=1). Assim D_u f§=‖∇f§‖ cos γ.

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