Calcule a soma da série identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
Passo 1
O enunciado pede para somar a série de potências
, identificando a que função ela corresponde e qual o seu intervalo de convergência. O conteúdo principal é séries de potências e a expansão em série de Taylor de funções elementares.
Passo 2
Para ver a que função a série converge, lembramos da série conhecida de logaritmo:
$
essa identidade vale para valores de tais que a série original converge.
essa identidade vale para valores de
Passo 3
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão (ou simplesmente reconhecemos que é uma série geométrica em essência dividida por
), obtendo raio de convergência
. Assim, a convergência é garantida quando
Podemos também analisar os extremos:
- Em
- Em
Passo 4
Portanto, o intervalo de convergência em que temos convergência absoluta é
Resposta
A série converge para
com intervalo de convergência aberto
.