Calcule a soma da série identificando a função para a qual a série converge, e o respectivo intervalo de convergência:
sumn=1^infty x^nn

Passo 1

O enunciado pede para somar a série de potências sumn=1^infty x^nn, identificando a que função ela corresponde e qual o seu intervalo de convergência. O conteúdo principal é séries de potências e a expansão em série de Taylor de funções elementares.

Passo 2

Para ver a que função a série converge, lembramos da série conhecida de logaritmo:
$ -ln(1 - x) = sumn=1^infty x^nn,
essa identidade vale para valores de x tais que a série original converge.

Passo 3

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão (ou simplesmente reconhecemos que é uma série geométrica em essência dividida por n), obtendo raio de convergência R = 1. Assim, a convergência é garantida quando
|x| < 1
Podemos também analisar os extremos:
- Em x = 1 a série vira sum 1/n, que diverge (harmônica).
- Em x = -1 a série vira -1)^n/n, que converge (série alternada) para -ln(2), mas esse ponto é caso de convergência condicional.

Passo 4

Portanto, o intervalo de convergência em que temos convergência absoluta é
-1 < x < 1

Resposta

A série converge para f(x) = -ln(1 - x) com intervalo de convergência aberto -1, 1.

Exercícios relacionados