Seja s o conjunto de todas as triplas ordenadas de reais ( x, y, z) tais que 2 x^wed>= 2+4 y^wed>= 2+6 z^wed>= 2 =8. Escolha um ponto p qualquer de s tal que p não incide sobre o eixo x, ou o eixo y, ou o eixo z. Determine o plano tangente a s pelo ponto p.

Passo 1

Temos a superfície S definida por 2x^2+4y^2+6z^2=8. O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente para obter o plano tangente a uma superfície de nível. Vamos usar que, para F(x,y,z)=2x^2+4y^2+6z^2-8, o gradiente de F em um ponto dá um vetor normal ao plano tangente.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z)=2x^2+4y^2+6z^2-8. Como S é o nível zero de F, o plano tangente em p=(x0,y0,z0) satisfaz
nabla F(p)cdotl(x-x0,y-y0,z-z0r)=0

Passo 3

Calculamos o gradiente:
nabla F(x,y,z)=l(4x,,8y,,12zr)
Em p isso é
nabla F(p)=l(4x0,,8y0,,12z0r)

Passo 4

Escrevemos a equação do plano tangente usando o produto escalar:
4x0(x-x0)+8y0(y-y0)+12z0(z-z0)=0
Expandindo, obtemos
4x0x+8y0y+12z0z-igl(4x0^2+8y0^2+12z0^2r)=0 

Passo 5

Como p está em S, sabemos que 2x0^2+4y0^2+6z0^2=8. Multiplicando por 2 dá 4x0^2+8y0^2+12z0^2=16. Substituindo, a equação do plano fica
4x0x+8y0y+12z0z=16
e, dividindo tudo por 4,
x0x+2y0y+3z0z=4

Resposta

O plano tangente a S em p=(x0,y0,z0) é dado por
x0x+2y0y+3z0z=4

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