Seja s o conjunto de todas as triplas ordenadas de reais (
) tais que
. Escolha um ponto
qualquer de s tal que
não incide sobre o eixo
, ou o eixo
, ou o eixo
. Determine o plano tangente a s pelo ponto
.
Passo 1
Temos a superfície
definida por
. O conteúdo aqui é derivadas parciais e gradiente para obter o plano tangente a uma superfície de nível. Vamos usar que, para
, o gradiente de
em um ponto dá um vetor normal ao plano tangente.
Passo 2
Definimos a função
. Como
é o nível zero de
, o plano tangente em
satisfaz
Passo 3
Calculamos o gradiente:
Em
isso é
Passo 4
Escrevemos a equação do plano tangente usando o produto escalar:
Expandindo, obtemos
Passo 5
Como
está em
, sabemos que
. Multiplicando por 2 dá
. Substituindo, a equação do plano fica
e, dividindo tudo por 4,
Resposta
O plano tangente a
em
é dado por