Definição: A reta normal ao gráfico de uma função f em um determinado ponto, é a reta perpendicular a reta tangente nesse ponto. No caso em que a reta tangente não é vertical e nem horizontal, temos que a inclinação da reta normal (coeficiente angular) é dada por mN=-1mT onde mT é a inclinação da reta tangente. Caso a reta tangente seja vertical, temos que mN=0. Por outro lado, se a reta tangente for horizontal, então mN não esta definido e a reta normal é vertical. Desta forma a equação da reta normal em um ponto (p, f(p)) é y-f(p)=-1mT(x-p). Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada.
a) y=x^2-x+2 no ponto (2,4);

Passo 1

Estamos lidando com a curva y = x^2 - x + 2 e queremos a reta normal ao seu gráfico no ponto (2,4). Para isso, precisamos calcular a derivada para achar a inclinação da reta tangente e então usar a relação entre as inclinações da reta tangente e da reta normal.

Passo 2

Calculamos a derivada da função f(x) = x^2 - x + 2 usando regras básicas de diferenciação (potência e constante):
f'(x) = 2x - 1

Passo 3

Avaliamos a inclinação da reta tangente no ponto x = 2 substituindo na derivada:
mT = f'(2) = 2 cdot 2 - 1 = 3

Passo 4

Como a reta tangente não é vertical nem horizontal, a inclinação da reta normal é dada por mN = -tfrac1mT = -tfrac13.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta y - y0 = m (x - x0) com (x0,y0)=(2,4) e m = -tfrac13, obtendo:
y - 4 = -tfrac13(x - 2)

Passo 6

Para escrever em forma reduzida, isolamos y:
y = -tfrac13x + tfrac143

Resposta

A equação da reta normal é y - 4 = -tfrac13(x - 2), que na forma reduzida fica y = -tfrac13x + tfrac143.

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