Definição: A reta normal ao gráfico de uma função
um determinado ponto, é a reta perpendicular a reta tangente nesse ponto. No caso em que a reta tangente não é vertical e nem horizontal, temos que a inclinação da reta normal (coeficiente angular) é dada por
onde
é a inclinação da reta tangente. Caso a reta tangente seja vertical, temos que
. Por outro lado, se a reta tangente for horizontal, então
não esta definido e a reta normal é vertical. Desta forma a equação da reta normal em um ponto
é
. Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada.
a)
no ponto
;
a)
Passo 1
Estamos lidando com a curva
e queremos a reta normal ao seu gráfico no ponto
. Para isso, precisamos calcular a derivada para achar a inclinação da reta tangente e então usar a relação entre as inclinações da reta tangente e da reta normal.
Passo 2
Calculamos a derivada da função
usando regras básicas de diferenciação (potência e constante):
Passo 3
Avaliamos a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo na derivada:
Passo 4
Como a reta tangente não é vertical nem horizontal, a inclinação da reta normal é dada por
.
Passo 5
Usamos a forma ponto-inclinação da reta
com
e
, obtendo:
Passo 6
Para escrever em forma reduzida, isolamos
:
Resposta
A equação da reta normal é
, que na forma reduzida fica
.