Se
são funções diferenciáveis tais que
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis em ℝ, f e g, com f(0)=g(0)=0 e g′(0)≠0. O que queremos é mostrar que limₓ→0 f(x)/g(x)=f′(0)/g′(0). Isso envolve conceitos de derivada e propriedades de limites.
Passo 2
A definição de derivada em x=0 é dada por
e
Para x≠0 podemos reescrever o quociente f(x)/g(x) como uma razão de frações que envolvem x:
Passo 3
Agora aplicamos o limite x→0 em ambos os lados. Como g′(0)=limₓ→0 g(x)/x é diferente de zero, podemos usar a propriedade do quociente de limites:
Portanto, concluímos que o limite pedido é igual à razão das derivadas em zero, f′(0)/g′(0).