Se f, g: R R são funções diferenciáveis tais que f(0)=g(0)=0 e g^prime(0) neq 0, mostre que
lim x 0 f(x)g(x)=f^prime(0)g^prime(0)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis em ℝ, f e g, com f(0)=g(0)=0 e g′(0)≠0. O que queremos é mostrar que limₓ→0 f(x)/g(x)=f′(0)/g′(0). Isso envolve conceitos de derivada e propriedades de limites.

Passo 2

A definição de derivada em x=0 é dada por
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0=limxto0f(x)x,
e
g'(0)=limxto0g(x)-g(0)x-0=limxto0g(x)x
Para x≠0 podemos reescrever o quociente f(x)/g(x) como uma razão de frações que envolvem x:
f(x)g(x)=f(x)xg(x)x

Passo 3

Agora aplicamos o limite x→0 em ambos os lados. Como g′(0)=limₓ→0 g(x)/x é diferente de zero, podemos usar a propriedade do quociente de limites:
limxto0f(x)g(x)=limxto0f(x)xlimxto0g(x)x=f'(0)g'(0)
Portanto, concluímos que o limite pedido é igual à razão das derivadas em zero, f′(0)/g′(0).

Resposta

f'(0)g'(0)

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