Calcule:
lim x +infty 1x^n, onde n in N;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto +infty1x^n, com ninN. O conteúdo principal é limite de função no infinito, em particular razão onde o denominador é uma potência de grau positivo. Vamos usar que potências crescem sem limite e, assim, seu inverso tende a zero.

Passo 2

Analisando a função xmapsto x^n: como n é um inteiro natural e estamos fazendo xto +infty, a potência x^n cresce sem parar. Logo,
limxto +inftyx^n=+infty

Passo 3

Quando o denominador de uma fração tende a +infty, o valor da fração tende a zero. Assim,
limxto +infty1x^n=0

Passo 4

Para uma justificativa mais formal usando a definição de limite no infinito: seja qualquer varepsilon>0. Basta escolher
M=gl(1varepsilongr)^1/n

Passo 5

Então, para todo x>M teremos
1x^n<1M^n=varepsilon,
o que mostra que de fato o limite é zero.

Resposta

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