Exemplo 1

Engenharia
Civil
Use a definição para calcular a área da região sob o gráfico da função f(x)=x no intervalo x in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região abaixo do gráfico da função $ f(x) = x $ no intervalo de $ x $ de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas usando a definição de soma de Riemann.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área sob a curva pode ser aproximada dividindo o intervalo [0, 1] em vários subintervalos pequenos. Cada subintervalo terá uma largura De e podemos calcular a área de cada retângulo formado pela função naquele subintervalo.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo [0, 1] em $ n $ partes iguais. Assim, a largura de cada subintervalo é:
n

Passo 4

Agora, escolhemos um ponto dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar o ponto direito, ou seja, $ x_i = \frac{i}{n} $ onde $ i $ vai de 1 a $ n $. A altura do retângulo será $ f(x_i) = \frac{i}{n} $.

Passo 5

A área aproximada é então a soma das áreas de todos esses retângulos:
An = sumi=1^n f(xi) De
Sabemos que sumi=1^n i = n(n+1)2, então substituindo:
An = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n+12n

Passo 6

Agora, para encontrar a área exata, tomamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Resposta

A área da região é $ \frac{1}{2} $.

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