Exemplo 1
Engenharia
Civil
Use a definição para calcular a área da região sob o gráfico da função
no intervalo
.
Civil
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região abaixo do gráfico da função $ f(x) = x $ no intervalo de $ x $ de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas usando a definição de soma de Riemann.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a área sob a curva pode ser aproximada dividindo o intervalo
em vários subintervalos pequenos. Cada subintervalo terá uma largura
e podemos calcular a área de cada retângulo formado pela função naquele subintervalo.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo
em $ n $ partes iguais. Assim, a largura de cada subintervalo é:
Passo 4
Agora, escolhemos um ponto dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar o ponto direito, ou seja, $ x_i = \frac{i}{n} $ onde $ i $ vai de 1 a $ n $. A altura do retângulo será $ f(x_i) = \frac{i}{n} $.
Passo 5
A área aproximada é então a soma das áreas de todos esses retângulos:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Agora, para encontrar a área exata, tomamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Resposta
A área da região é $ \frac{1}{2} $.