Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
.
Informações que temos:
- A função:
. - A abscissa do ponto de tangência:
.
O que precisamos encontrar:
- O ponto do gráfico com abscissa
, ou seja o par . - A derivada da função no ponto
, que nos dá o coeficiente angular (declive) da reta tangente. - A equação da reta tangente, usando o ponto e o declive.
Passo 2
Conceito-chave (explicado de forma simples): a reta tangente a um gráfico em um ponto toca o gráfico nesse ponto e tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto.
Definição da derivada no ponto
:
Na prática de prova, normalmente usa-se regras de derivação (como regra do poder, regra da cadeia) para achar
de forma algébrica e depois avalia-se em
.
A equação da reta com declive
que passa por
(forma ponto-declive) é:
Passo 3
Preparar a derivação da função. Reescreve-se a função como potência para aplicar regras conhecidas:
Isto é uma composição: uma função externa
e uma função interna
.
Regra da cadeia (explicação curta e clara): se
, então
Aqui:
- Para
vale a regra do poder: . - Para
tem-se .
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Simplificar a expressão da derivada passo a passo (mostrando as contas):
Multiplicando
por
dá
. Assim:
Agora avalia-se a derivada em
para obter o declive
:
- Calcula o numerador em
: . - Calcula o denominador em
: .
Portanto o declive da tangente em
é
Passo 5
Determinar o ponto do gráfico com abscissa
:
Calcular
:
Logo o ponto é
.
A forma ponto-declive da reta tangente é, em geral,
Substituindo
,
e
obtém-se a equação da reta tangente (forma ponto-declive). (A forma final simplificada será dada na seção de resposta.)