Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=\sqrt{x^{2}+2 x}, x=1

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{x^{2}+2x} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=1.
Informações que temos:
  • A função: y=\sqrt{x^{2}+2x}.
  • A abscissa do ponto de tangência: x_{0}=1.
O que precisamos encontrar:
  • O ponto do gráfico com abscissa x_{0}=1, ou seja o par (x_{0},y_{0}).
  • A derivada da função no ponto x_{0}, que nos dá o coeficiente angular (declive) m da reta tangente.
  • A equação da reta tangente, usando o ponto e o declive.

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma simples): a reta tangente a um gráfico em um ponto toca o gráfico nesse ponto e tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto.
Definição da derivada no ponto a:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Na prática de prova, normalmente usa-se regras de derivação (como regra do poder, regra da cadeia) para achar f'(x) de forma algébrica e depois avalia-se em x=a.
A equação da reta com declive m que passa por (x_{0},y_{0}) (forma ponto-declive) é:
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).

Passo 3

Preparar a derivação da função. Reescreve-se a função como potência para aplicar regras conhecidas:
y=(x^{2}+2x)^{\tfrac{1}{2}}.
Isto é uma composição: uma função externa g(u)=u^{1/2} e uma função interna u(x)=x^{2}+2x.
Regra da cadeia (explicação curta e clara): se y=g(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui:
  • Para g(u)=u^{1/2} vale a regra do poder: g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Para u(x)=x^{2}+2x tem-se u'(x)=2x+2.
Aplicando a regra da cadeia:
y'=\frac{1}{2}(x^{2}+2x)^{-1/2}\cdot(2x+2).

Passo 4

Simplificar a expressão da derivada passo a passo (mostrando as contas):
y'=\frac{1}{2}\cdot(2x+2)\cdot (x^{2}+2x)^{-1/2}.
Multiplicando \tfrac{1}{2} por (2x+2) x+1. Assim:
y'=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}.
Agora avalia-se a derivada em x_{0}=1 para obter o declive m:
  • Calcula o numerador em x=1: x+1=1+1=2.
  • Calcula o denominador em x=1: \sqrt{x^{2}+2x}=\sqrt{1^{2}+2\cdot1}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}.
Portanto o declive da tangente em x=1 é
m=y'(1)=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Determinar o ponto do gráfico com abscissa x_{0}=1:
Calcular y_{0}=y(1):
y(1)=\sqrt{1^{2}+2\cdot1}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}.
Logo o ponto é (x_{0},y_{0})=(1,\sqrt{3}).
A forma ponto-declive da reta tangente é, em geral,
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=\sqrt{3} e m=\dfrac{2}{\sqrt{3}} obtém-se a equação da reta tangente (forma ponto-declive). (A forma final simplificada será dada na seção de resposta.)

Resposta

y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}

Exercícios relacionados