{ }^{a} Questão. Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=4-x^{3}-y^{3}+3 x y

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x,y)=4 - x^{3} - y^{3} + 3xy
e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). Vamos usar derivadas parciais para encontrar os candidatos a pontos críticos e depois o teste da matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial f}{\partial x} = -3x^{2} + 3y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -3y^{2} + 3x.
A condição de ponto crítico é
-3x^{2} + 3y = 0, \quad -3y^{2} + 3x = 0.

Passo 3

Simplificando cada equação, obtemos
y = x^{2}, \quad x = y^{2}.
Substituindo y = x^{2} em x = y^{2}
x = (x^{2})^{2} = x^{4} \;\Longrightarrow\; x(x^{3}-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\\ \text{ou}\\ x=1.
Para x=0 segue y=0, gerando o ponto (0,0).
Para x=1 segue y=1, gerando o ponto (1,1).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[6pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6x & 3\\[3pt] 3 & -6y \end{pmatrix}.
No ponto (0,0):
H(0,0) = \begin{pmatrix}0 & 3\\\ 3 & 0\end{pmatrix}, \quad \det H(0,0) = -9 < 0 \;\Longrightarrow\; \text{ponto de sela}.
No ponto (1,1):
H(1,1) = \begin{pmatrix}-6 & 3\\\ 3 & -6\end{pmatrix}, \quad \det H(1,1) = 36 - 9 = 27 > 0, \quad f_{xx}(1,1) = -6 < 0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo local}.á]

Resposta

(0,0) é ponto de sela.
(1,1) é máximo local.

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