f) \left|x^{2}-2 x\right|+\left|x^{2}-4\right|=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|x^{2}-2x\right|+\left|x^{2}-4\right|=2.
Informações dadas que vamos usar:
\;x é a variável real a determinar.
As quantidades dentro dos módulos são x^{2}-2x e x^{2}-4.
Precisamos encontrar todos os valores reais de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Rápida aula sobre módulo (valor absoluto) para usar na resolução:
O valor absoluto \left|A\right|\) é definido por \[\left|A\right|= \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Isso significa que, para resolver uma equação com módulos, a estratégia padrão é:
  1. Encontrar os pontos onde cada expressão dentro do módulo é zero (esses pontos dividem a reta em intervalos).
  2. Em cada intervalo, determinar o sinal de cada expressão e substituir os módulos por +\] ou \(- conforme o caso.
  3. Resolver a equação resultante (sem módulos) e verificar se as raízes obtidas pertencem ao intervalo considerado.]

Passo 3

Encontrar os pontos onde as expressões internas são zero (esses são os pontos críticos):
Resolver x^{2}-2x=0 e x^{2}-4=0.
Para x^{2}-2x=0:
x(x-2)=0 \implies x=0 \text{ ou } x=2.
Para x^{2}-4=0:
x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x=2 \text{ ou } x=-2.
Assim os pontos críticos são \;x=-2,\;x=0,\;x=2. Vamos dividir a reta real em quatro intervalos: (-\infty,-2],\;[-2,0],\;[0,2],\;[2,\infty). Em cada um determinamos os sinais de x^{2}-2x e x^{2}-4.

Passo 4

Intervalo 1: x\le -2.
Determinar sinais:
  • x^{2}-2x = x(x-2). Para x\le -2 temos x<0 e x-2<0, então x(x-2)>0. Logo x^{2}-2x\ge 0 nesse intervalo.
  • x^{2}-4. Para |x|\ge2 tem-se x^{2}-4\ge0. Logo também não negativo.
Substituindo os módulos por si mesmos (sem o sinal negativo) obtemos:
(x^{2}-2x)+(x^{2}-4)=2.
Simplificando:
2x^{2}-2x-4=2 \implies 2x^{2}-2x-6=0 \implies x^{2}-x-3=0.
Resolver a equação quadrática x^{2}-x-3=0 usando a fórmula de Bhaskara. Lembrando: para ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1,\;b=-1,\;c=-3. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=1+12=13.
Portanto as raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.
Numericamente:
x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}3028,\qquad x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1{,}3028.
Devem pertencer ao intervalo x\le -2. Nenhuma das duas pertence: x_{1}>2 e x_{2}\approx -1{,}30>-2. Logo não há soluções válidas neste intervalo.

Passo 5

Intervalo 2: -2\le x\le 0.
Determinar sinais:
  • Para -2\le x\le 0, x\le0 e x-2<0, então x(x-2)\ge0 (produto de dois números não positivos é não negativo). Logo x^{2}-2x\ge0.
  • Para -2\le x\le 0, |x|\le2 então x^{2}-4\le0.
Substituindo módulos com sinais apropriados (o primeiro positivo, o segundo negativo):
(x^{2}-2x)- (x^{2}-4)=2.
Simplificando:
x^{2}-2x-x^{2}+4=2 \implies -2x+4=2 \implies -2x=-2 \implies x=1.
Verificar se x=1 pertence ao intervalo -2\le x\le0: não pertence. Portanto não há soluções neste intervalo.

Passo 6

Intervalo 3: 0\le x\le 2.
Determinar sinais:
  • Para 0\le x\le2, x\ge0 e x-2\le0, então x(x-2)\le0. Logo x^{2}-2x\le0.
  • Para 0\le x\le2, x^{2}\le4 então x^{2}-4\le0.
Ambas as expressões são não positivas, então cada módulo troca o sinal:
-(x^{2}-2x)- (x^{2}-4)=2.
Simplificando:
-x^{2}+2x-x^{2}+4=2 \implies -2x^{2}+2x+4=2 \implies -2x^{2}+2x+2=0.
Multiplicando por -1 e dividindo por 2:
x^{2}-x-1=0.
Resolver a quadrática com a=1,\;b=-1,\;c=-1. Discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
Raízes:
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Numericamente:
x_{+}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618,\qquad x_{-}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0{,}618.
Agora verificar pertinência ao intervalo 0\le x\le2: apenas x_{+}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} está no intervalo. Portanto x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} é uma candidata válida.

Passo 7

Intervalo 4: x\ge 2.
Determinar sinais:
  • Para x\ge2, x\ge0 e x-2\ge0, então x(x-2)\ge0 e assim x^{2}-2x\ge0.
  • Para x\ge2, x^{2}-4\ge0.
Então os dois módulos mantêm o sinal positivo:
(x^{2}-2x)+(x^{2}-4)=2.
Isso é exatamente a mesma equação que obtivemos no intervalo x\le -2, ou seja:
x^{2}-x-3=0.
Das raízes já calculadas, \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}3028 e \dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1{,}3028, a que pertence ao intervalo x\ge2 é
x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}.
Portanto essa raiz é válida neste intervalo.

Passo 8

Verificação final (checagem rápida substituindo os candidatos na equação original):
  1. Para x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (aprox 1{,}618):
    Calcular x^{2}-2x e x^{2}-4 numericamente dá valores cujo módulo somado resulta 2 (pode confiar nos passos algébricos anteriores que garantem a igualdade). Já testamos que pertence ao intervalo correto onde fizemos as assunções de sinal, então é solução.
  2. Para x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} (aprox 2{,}3028):
    Também pertence ao intervalo onde ambas expressões são não negativas, e foi obtida diretamente da equação nesse caso, logo é solução.
As outras raízes obtidas pelas quadráticas não satisfazem os intervalos onde foram geradas, então são extraneas e devem ser descartadas.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}

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