Informações dadas que vamos usar: \;x é a variável real a determinar.
As quantidades dentro dos módulos são x^{2}-2x e x^{2}-4.
Precisamos encontrar todos os valores reais de x que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Rápida aula sobre módulo (valor absoluto) para usar na resolução:
O valor absoluto \left|A\right|\) é definido por
\[\left|A\right|= \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Isso significa que, para resolver uma equação com módulos, a estratégia padrão é:
Encontrar os pontos onde cada expressão dentro do módulo é zero (esses pontos dividem a reta em intervalos).
Em cada intervalo, determinar o sinal de cada expressão e substituir os módulos por +\] ou \(- conforme o caso.
Resolver a equação resultante (sem módulos) e verificar se as raízes obtidas pertencem ao intervalo considerado.]
Passo 3
Encontrar os pontos onde as expressões internas são zero (esses são os pontos críticos):
Resolver x^{2}-2x=0 e x^{2}-4=0.
Para x^{2}-2x=0:
x(x-2)=0 \implies x=0 \text{ ou } x=2.
Para x^{2}-4=0:
x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x=2 \text{ ou } x=-2.
Assim os pontos críticos são \;x=-2,\;x=0,\;x=2. Vamos dividir a reta real em quatro intervalos: (-\infty,-2],\;[-2,0],\;[0,2],\;[2,\infty). Em cada um determinamos os sinais de x^{2}-2x e x^{2}-4.
Passo 4
Intervalo 1: x\le -2.
Determinar sinais:
x^{2}-2x = x(x-2). Para x\le -2 temos x<0 e x-2<0, então x(x-2)>0. Logo x^{2}-2x\ge 0 nesse intervalo.
x^{2}-4. Para |x|\ge2 tem-se x^{2}-4\ge0. Logo também não negativo.
Substituindo os módulos por si mesmos (sem o sinal negativo) obtemos:
Agora verificar pertinência ao intervalo 0\le x\le2: apenas x_{+}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} está no intervalo. Portanto x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} é uma candidata válida.
Passo 7
Intervalo 4: x\ge 2.
Determinar sinais:
Para x\ge2, x\ge0 e x-2\ge0, então x(x-2)\ge0 e assim x^{2}-2x\ge0.
Para x\ge2, x^{2}-4\ge0.
Então os dois módulos mantêm o sinal positivo:
(x^{2}-2x)+(x^{2}-4)=2.
Isso é exatamente a mesma equação que obtivemos no intervalo x\le -2, ou seja:
x^{2}-x-3=0.
Das raízes já calculadas, \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2{,}3028 e \dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1{,}3028, a que pertence ao intervalo x\ge2 é
x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}.
Portanto essa raiz é válida neste intervalo.
Passo 8
Verificação final (checagem rápida substituindo os candidatos na equação original):
Para x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (aprox 1{,}618):
Calcular x^{2}-2x e x^{2}-4 numericamente dá valores cujo módulo somado resulta 2 (pode confiar nos passos algébricos anteriores que garantem a igualdade). Já testamos que pertence ao intervalo correto onde fizemos as assunções de sinal, então é solução.
Para x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} (aprox 2{,}3028):
Também pertence ao intervalo onde ambas expressões são não negativas, e foi obtida diretamente da equação nesse caso, logo é solução.
As outras raízes obtidas pelas quadráticas não satisfazem os intervalos onde foram geradas, então são extraneas e devem ser descartadas.