Nesta atividade, exploraremos uma função específica para compreender seu comportamento em diversos aspectos críticos. O objetivo é aplicar conceitos fundamentais do cálculo, como descontinuidade, limites laterais, assíntotas horizontais e a existência de raízes em um intervalo específico. Este exercício visa fortalecer seu entendimento dos conceitos fundamentais do cálculo e sua aplicação prática.
Dessa forma, utilizando a função
f(x)=2 x+1x-2+2
responda às perguntas a seguir.
b) ( 3 pontos) No ponto determinado em a), aplique os conceitos de limites laterais, para identificar o comportamento na função a esquerda e a direita deste ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar o comportamento da função num ponto específico que a parte a) determinou. O conteúdo aqui envolve limites laterais, que são fundamentais para entender como a função se comporta à esquerda e à direita desse ponto. Vamos precisar calcular os limites quando se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o ponto crítico. Observando a função , percebemos que quando , o denominador se torna zero, o que pode indicar uma descontinuidade. Então, vamos considerar como o ponto em questão.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^- 2x + 1x - 2 + 2 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, quando limx to 2^- f(x) = -infty + 2 = -infty vem de valores menores que 2.
Substituindo valores próximos a 2 pela esquerda:
Se se aproxima de 2 por valores menores, será um número negativo muito pequeno, então tende a . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^+ 2x + 1x - 2 + 2 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, quando limx to 2^+ f(x) = +infty + 2 = +infty vem de valores maiores que 2.
Substituindo valores próximos a 2 pela direita:
Se se aproxima de 2 por valores maiores, será um número positivo muito pequeno, então tende a . Portanto:

Resposta

Então, no ponto , a função tende a pela esquerda e a pela direita, indicando uma descontinuidade infinita nesse ponto.

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