Se
é diferenciável e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá que
é diferenciável e define a função
A pergunta é: calcule
, a derivada de
em um ponto genérico
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é diferenciável em todos os reais, então existe para todo . - A função
é dada como produto de duas funções: e .
Passo 2
Vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas para aplicar a regra do produto. Definimos
Aqui
é a função identidade e
é uma composição: primeiro
, depois aplica-se
.
Passo 3
Apresento a regra do produto que vamos usar. Se
e
são diferenciáveis, então a derivada do produto
é
Explicando:
é a derivada de
em
, multiplicamos por
e somamos
vezes a derivada
. É assim que a variação conjunta do produto se decompõe.
Passo 4
Calcule
. Como
, temos
Isso é direto: a derivada da função identidade é
.
Passo 5
Agora precisamos de
, onde
. Aqui aplicamos a regra da cadeia para derivadas de função composta. A regra da cadeia diz: se
, então
No nosso caso
e
. Primeiro calcule
:
Como
é diferenciável,
existe, então aplicando a cadeia:
Explicando: derivamos a função exterior
avaliada em
, que é
, e multiplicamos pela derivada do interior
.
Passo 6
Agora juntamos tudo usando a regra do produto do Passo 3. Substituindo
,
e
, obtemos
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos conferir com um exemplo concreto para ganhar confiança. Tome
. Então
. Temos
A derivada direta é
. Pela fórmula que obtivemos:
que coincide com a derivada direta — ótimo, sinal de que a fórmula está correta.