Se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é diferenciável e g(x)=x f\left(x^{2}\right), calcule g^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável e define a função
g(x)=x\,f\bigl(x^{2}\bigr).
A pergunta é: calcule g'(x), a derivada de g em um ponto genérico x.
Informações relevantes que temos:
  • f é diferenciável em todos os reais, então f'(t) existe para todo t\in\mathbb{R}.
  • A função g é dada como produto de duas funções: x e f(x^{2}).

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas para aplicar a regra do produto. Definimos
u(x)=x\quad\text{e}\quad v(x)=f\bigl(x^{2}\bigr).
Aqui u(x) é a função identidade e v(x) é uma composição: primeiro x\mapsto x^{2}, depois aplica-se f.

Passo 3

Apresento a regra do produto que vamos usar. Se u e v são diferenciáveis, então a derivada do produto u(x)v(x) é
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: u'(x) é a derivada de u em x, multiplicamos por v(x) e somamos u(x) vezes a derivada v'(x). É assim que a variação conjunta do produto se decompõe.

Passo 4

Calcule u'(x). Como u(x)=x, temos
u'(x)=1.
Isso é direto: a derivada da função identidade é 1.

Passo 5

Agora precisamos de v'(x), onde v(x)=f\bigl(x^{2}\bigr). Aqui aplicamos a regra da cadeia para derivadas de função composta. A regra da cadeia diz: se h(x)=F\bigl(\varphi(x)\bigr), então
h'(x)=F'\bigl(\varphi(x)\bigr)\cdot\varphi'(x).
No nosso caso F=f e \varphi(x)=x^{2}. Primeiro calcule \varphi'(x):
\varphi'(x)=(x^{2})'=2x.
Como f é diferenciável, f' existe, então aplicando a cadeia:
v'(x)=f'\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.
Explicando: derivamos a função exterior f avaliada em x^{2}, que é f'(x^{2}), e multiplicamos pela derivada do interior 2x.

Passo 6

Agora juntamos tudo usando a regra do produto do Passo 3. Substituindo u'(x)=1, v(x)=f(x^{2}) e v'(x)=2x\,f'(x^{2}), obtemos
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot f\bigl(x^{2}\bigr)+x\cdot\bigl(2x\,f'\bigl(x^{2}\bigr)\bigr).
Simplificando os termos:
g'(x)=f\bigl(x^{2}\bigr)+2x^{2}\,f'\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 7

Vamos conferir com um exemplo concreto para ganhar confiança. Tome f(t)=t^{2}. Então f'(t)=2t. Temos
g(x)=x\cdot f(x^{2})=x\cdot (x^{2})^{2}=x\cdot x^{4}=x^{5}.
A derivada direta é g'(x)=5x^{4}. Pela fórmula que obtivemos:
f(x^{2})+2x^{2}f'(x^{2})=(x^{2})^{2}+2x^{2}\cdot 2(x^{2})=x^{4}+4x^{4}=5x^{4},
que coincide com a derivada direta — ótimo, sinal de que a fórmula está correta.

Resposta

g'(x)=f\bigl(x^{2}\bigr)+2x^{2}\,f'\bigl(x^{2}\bigr).

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