O objetivo é obter f',f'',f''', g',g'',g''' e h',h'',h''', indicando existência ou não nos pontos críticos (x=0 para f, x=1 para g) e restringindo domínio de h para x>2.]
Passo 2
Estratégia e conceitos que vou usar (sem resolver ainda): para funções com |x| ou definidas por partes eu vou separar em ramos (uma expressão para x>0 e outra para x<0, ou x<1/x>1) e calcular derivadas em cada ramo usando regras básicas: regra do poder (derivada de \,x^n = n x^{n-1}\,), regra do produto, regra da cadeia quando aparecerem potenciais fracionárias, e verificar as derivadas em pontos de junção pelos limites laterais (derivadas laterais). Para h vou reescrever com potências fracionárias:
h(x)=(x-3)(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2},\quad x>2,
e aplicar produto/chain rules repetidamente.
Passo 3
Função f(x)=x^{2}|x|+1\). Primeiro reescrever \(|x|\) em dois casos:
\[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\\\ -x, & x<0. \end{cases}
Portanto:
para x>0\]: \(\,f(x)=x^{2}\cdot x +1 = x^{3}+1.
Agora verificar o ponto [x=0) (junção dos ramos). Precisamos checar existência de f'(0), f''(0), f'''(0) usando limites laterais e/ou definição de derivada.
Derivada primeira em 0: calcular as derivadas laterais f'_+(0) e f'_-(0).
As duas laterais não coincidem (6\] versus \(-6), portanto f'''(0) não existe. Conclusão: f' e f'' existem em todo \mathbb{R} com valores calculados acima; f''' existe para x\neq 0 (vale 6 ou -6) mas não em x=0.]
Passo 6
Resumo didático para f (já com domínio todo \mathbb{R} e comportamento em 0):
Em palavras: a presença de |x| transformou x^{2}|x| em duas cúbicas com sinais opostos; as derivadas até a segunda ordem batem nos dois lados em 0 (porque envolvem potências pares em f' e produto com h em f''), mas a terceira mostra uma troca de sinal brusca e falha a existência em 0.
Como são diferentes, g''(1) não existe. Consequentemente g'''(1) também não existe (não faz sentido falar de derivada de ordem superior no ponto se a ordem anterior já falha em existir, embora para x\neq1 existam terceiras derivadas zero).
Passo 9
Função h(x)=\dfrac{(x-3)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}. Antes de derivar:
Domínio: preciso de \sqrt{x-2}\neq 0 no denominador e radicandos não negativos; o requisito mais forte é x>2. Portanto trabalhamos em x>2.
Reescrever com potências para facilitar derivação:
h(x)=(x-3)(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2},\qquad x>2.
Vou usar produto repetido e a regra da cadeia para potências fracionárias.
Passo 10
Defino u(x)=x-3 e v(x)=(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2}. Primeiro calcule v'(x).
(Detalhe: a combinação algébrica exige colocar sobre denominador comum e simplificar o numerador, procedimento direto mas um pouco trabalhoso; o resultado é o polinômio 8x^{2}-8x-1 dividido por 8 multiplicando os fatores radiciais negativos.)