Calcule as derivadas até a ordem 3 das funções abaixo:
f(x)=x^{2}|x|+1, \quad g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+3 x, & x \leq 1 \\ 5 x-1, & x>1 \end{array}, \quad h(x)=\frac{(x-3) \sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}\right.

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas até a ordem 3 das funções abaixo. As funções dadas são:
f(x)=x^{2}|x|+1,
g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+3x, & x\leq 1,\\[4pt] 5x-1, & x>1, \end{array}\right.
h(x)=\frac{(x-3)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Para }f:\\ \text{há valor absoluto }|x| \text{ (ponto crítico em }x=0\text{)}.áí
\text{Para }g:\\ \text{é função definida por partes com possível problema em }x=1.éçãí
\text{Para }h:\\ \text{há radicais; domínio exigido: }x-2>0\Rightarrow x>2.áí
O objetivo é obter f',f'',f''', g',g'',g''' e h',h'',h''', indicando existência ou não nos pontos críticos ( x=0 para f, x=1 para g) e restringindo domínio de h para x>2.]

Passo 2

Estratégia e conceitos que vou usar (sem resolver ainda): para funções com |x| ou definidas por partes eu vou separar em ramos (uma expressão para x>0 e outra para x<0, ou x<1/ x>1) e calcular derivadas em cada ramo usando regras básicas: regra do poder (derivada de \,x^n = n x^{n-1}\,), regra do produto, regra da cadeia quando aparecerem potenciais fracionárias, e verificar as derivadas em pontos de junção pelos limites laterais (derivadas laterais). Para h vou reescrever com potências fracionárias:
h(x)=(x-3)(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2},\quad x>2,
e aplicar produto/chain rules repetidamente.

Passo 3

Função f(x)=x^{2}|x|+1\). Primeiro reescrever \(|x|\) em dois casos: \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\\\ -x, & x<0. \end{cases}
Portanto:
para x>0\]: \(\,f(x)=x^{2}\cdot x +1 = x^{3}+1.
Usando a regra do poder:
f'(x)=3x^{2},\qquad f''(x)=6x,\qquad f'''(x)=6\quad\text{(para }x>0\text{)}.

Passo 4

Ainda para f, caso x<0: |x|=-x, então
f(x)=x^{2}(-x)+1 = -x^{3}+1.
Derivando:
f'(x)=-3x^{2},\qquad f''(x)=-6x,\qquad f'''(x)=-6\quad\text{(para }x<0\text{)}.

Passo 5

Agora verificar o ponto [x=0) (junção dos ramos). Precisamos checar existência de f'(0), f''(0), f'''(0) usando limites laterais e/ou definição de derivada.
  1. Derivada primeira em 0: calcular as derivadas laterais f'_+(0) e f'_-(0).
f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}3x^{2}=0,\qquad f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}(-3x^{2})=0.
Como as duas laterais são iguais, f'(0)=0 existe.
  1. Segunda derivada em 0: podemos usar a derivada de f' dos ramos ou a definição
f''(0)=\lim_{h\to0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}.
Como f'(h)=3h^{2} para h>0 e f'(h)=-3h^{2} para h<0, temos
\frac{f'(h)-0}{h}=\begin{cases} \frac{3h^{2}}{h}=3h, & h>0,\\[4pt] \frac{-3h^{2}}{h}=-3h, & h<0. \end{cases}
Ambos tendem a 0\] quando \[h\to0. Logo f''(0)=0 existe.
  1. Terceira derivada em 0: usar limite
f'''(0)=\lim_{h\to0}\frac{f''(h)-f''(0)}{h}.
Temos f''(h)=6h para h>0 e f''(h)=-6h para h<0, e f''(0)=0. Logo
\frac{f''(h)-0}{h}=\begin{cases} \frac{6h}{h}=6, & h>0,\\[4pt] \frac{-6h}{h}=-6, & h<0. \end{cases}
As duas laterais não coincidem ( 6\] versus \(-6), portanto f'''(0) não existe. Conclusão: f' e f'' existem em todo \mathbb{R} com valores calculados acima; f''' existe para x\neq 0 (vale 6 ou -6) mas não em x=0.]

Passo 6

Resumo didático para f (já com domínio todo \mathbb{R} e comportamento em 0):
  • Em palavras: a presença de |x| transformou x^{2}|x| em duas cúbicas com sinais opostos; as derivadas até a segunda ordem batem nos dois lados em 0 (porque envolvem potências pares em f' e produto com h em f''), mas a terceira mostra uma troca de sinal brusca e falha a existência em 0.

Passo 7

Função g(x). Trabalhar por ramos.
Para x<1 (ramo esquerdo):
g(x)=x^{2}+3x.
Derivando:
g'(x)=2x+3,\qquad g''(x)=2,\qquad g'''(x)=0\quad\text{(para }x<1\text{)}.
Para x>1 (ramo direito):
g(x)=5x-1.
Derivando:
g'(x)=5,\qquad g''(x)=0,\qquad g'''(x)=0\quad\text{(para }x>1\text{)}.

Passo 8

Analisar o ponto x=1 (junção).
  1. Continuidade de g em 1:
g(1^-)=1^{2}+3\cdot1=4,\qquad g(1^+)=5\cdot1-1=4,
logo g é contínua em 1.
  1. Derivada primeira em 1 (laterais):
g'_-(1)=\lim_{x\to1^-}(2x+3)=2\cdot1+3=5,\qquad g'_+(1)=5.
Como são iguais, g'(1)=5 existe.
  1. Segunda derivada em 1: laterais
g''_-(1)=2,\qquad g''_+(1)=0.
Como são diferentes, g''(1) não existe. Consequentemente g'''(1) também não existe (não faz sentido falar de derivada de ordem superior no ponto se a ordem anterior já falha em existir, embora para x\neq1 existam terceiras derivadas zero).

Passo 9

Função h(x)=\dfrac{(x-3)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}. Antes de derivar:
  • Domínio: preciso de \sqrt{x-2}\neq 0 no denominador e radicandos não negativos; o requisito mais forte é x>2. Portanto trabalhamos em x>2.
  • Reescrever com potências para facilitar derivação:
h(x)=(x-3)(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2},\qquad x>2.
Vou usar produto repetido e a regra da cadeia para potências fracionárias.

Passo 10

Defino u(x)=x-3 e v(x)=(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2}. Primeiro calcule v'(x).
Calcular derivadas parciais de v usando produto:
A(x)=(x-1)^{1/2},\quad A'(x)=\tfrac{1}{2}(x-1)^{-1/2},
B(x)=(x-2)^{-1/2},\quad B'(x)=-\tfrac{1}{2}(x-2)^{-3/2}.
Então
v'(x)=A'B + AB'=\tfrac{1}{2}(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-1/2} - \tfrac{1}{2}(x-1)^{1/2}(x-2)^{-3/2}.
Fatorando \tfrac{1}{2}(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-3/2} obtemos
v'(x)=-\tfrac{1}{2}(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-3/2},
porque o colchete simplifica para (x-2)-(x-1)=-1. (Essa simplificação é útil e elegante — salva trabalho nas derivadas seguintes.)

Passo 11

Agora h'(x)=u'v + u v' com u'(x)=1. Logo
h'(x)=v(x) + (x-3)v'(x).
Substituindo as formas e fatorando convenientemente obtém-se, após simplificação (detalhes feitos no Passo 10),
h'(x)=\tfrac{1}{2}(x-1)^{1/2}(x-2)^{-3/2},\qquad x>2.
Observação: deu uma forma bem simples — muitas vezes expressões com radicais simplificam quando você faz a álgebra de fator comum.

Passo 12

Derivar h'(x) para obter h''(x). Partimos de
h'(x)=\tfrac{1}{2}(x-1)^{1/2}(x-2)^{-3/2}.
Aplicando produto e cadeia:
h''(x)=\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2}(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-3/2} + (x-1)^{1/2}\big(-\tfrac{3}{2}\big)(x-2)^{-5/2}\Big).
Agrupando e simplificando (fator comum (x-1)^{-1/2}(x-2)^{-5/2}) chegamos a
h''(x)=\tfrac{1}{4}(1-2x)(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-5/2},\qquad x>2.

Passo 13

Finalmente h'''(x). Partimos de
h''(x)=\tfrac{1}{4}(1-2x)(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-5/2}.
Use regra do produto: seja p(x)=1-2x e q(x)=(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-5/2}. Então
h'''(x)=\tfrac{1}{4}\big(p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\big),\quad p'(x)=-2.
Calculando q'(x) por derivação similar (produto + cadeia) e simplificando cuidadosamente (fator comum (x-1)^{-3/2}(x-2)^{-7/2}), encontra-se
q'(x)=-\tfrac{1}{2}(6x-7)(x-1)^{-3/2}(x-2)^{-7/2}.
Substituindo em h''' e fazendo algebra para somar os termos, obtemos a forma simplificada
h'''(x)=\frac{8x^{2}-8x-1}{8}\,(x-1)^{-3/2}(x-2)^{-7/2},\qquad x>2.
(Detalhe: a combinação algébrica exige colocar sobre denominador comum e simplificar o numerador, procedimento direto mas um pouco trabalhoso; o resultado é o polinômio 8x^{2}-8x-1 dividido por 8 multiplicando os fatores radiciais negativos.)

Resposta

f:
\begin{cases} \text{Para }x>0:\\ f(x)=x^{3}+1,\quad f'(x)=3x^{2},\quad f''(x)=6x,\quad f'''(x)=6,\\[6pt] \text{Para }x<0:\\ f(x)=-x^{3}+1,\quad f'(x)=-3x^{2},\quad f''(x)=-6x,\quad f'''(x)=-6,\\[6pt] f'(0)=0,\quad f''(0)=0,\quad f'''(0)\\ \text{não existe.} \end{cases}ã
g:
\begin{cases} \text{Para }x<1:\\ g(x)=x^{2}+3x,\quad g'(x)=2x+3,\quad g''(x)=2,\quad g'''(x)=0,\\[6pt] \text{Para }x>1:\\ g(x)=5x-1,\quad g'(x)=5,\quad g''(x)=0,\quad g'''(x)=0,\\[6pt] g \text{ é contínua em }1,\\ g'(1)=5,\quad g''(1)\\ \text{não existe (logo }g'''(1)\\ \text{não existe).} \end{cases}éíãã
h (válido para x>2):
\begin{aligned} h(x)&=(x-3)(x-1)^{1/2}(x-2)^{-1/2},\\[4pt] h'(x)&=\tfrac{1}{2}(x-1)^{1/2}(x-2)^{-3/2},\\[4pt] h''(x)&=\tfrac{1}{4}(1-2x)(x-1)^{-1/2}(x-2)^{-5/2},\\[4pt] h'''(x)&=\dfrac{8x^{2}-8x-1}{8}\,(x-1)^{-3/2}(x-2)^{-7/2}. \end{aligned}

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