Seja
diferenciável tal que
. Se
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
-
Informações dadas:
-
é diferenciável. -
. -
. -
.
-
-
O que é pedido:
- Calcular
.
- Calcular
Passo 2
Vamos recordar e entender a regra da cadeia de forma bem clara (a ferramenta que precisamos aqui).
- Regra da cadeia simples: se você tem uma composição
, então a derivada de em é
Explicando as letras:
é a função interior (a “substituição”) e
é a função exterior; primeiro derivamos a função exterior
avaliando-a na entrada
, depois multiplicamos pela derivada da função interior
.
- Exemplo rápido e intuitivo: se
, aqui e . Aplico a regra:
Ou seja: derive o “casulo” externo (
) e multiplique pela derivada do que está dentro (
).
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia à composição tripla
.
- Uma maneira organizada é definir uma função intermediária. Defina
Então
.
- Aplicando a regra da cadeia para
, obtemos
Agora precisamos de
. Como
e
, aplicamos a regra da cadeia novamente:
Mas
. Portanto
- Substituindo
em temos
Ou, escrevendo de forma mais limpa,
Isso é a forma geral: a derivada da composição de três cópias de
é o produto das derivadas de
avaliadas nas três “camadas” internas.
Passo 4
Agora avaliamos essa expressão em
, usando os dados do enunciado.
- Primeiro observe que
(foi dado). Então
e também
Ou seja, ao avaliar as entradas na expressão de
em
, todas as avaliações ficam em
.
- Substituindo
na expressão de e usando que todas as entradas valem , obtemos
Passo 5
Usamos o valor dado de
. Como
, temos