Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável tal que f(2)=2, f^{\prime}(2)=2. Se g(x)=f(f(f(x))), calcule g^{\prime}(2).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informações dadas:
    • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável.
    • f(2)=2.
    • f'(2)=2.
    • g(x)=f(f(f(x))).
  • O que é pedido:
    • Calcular g'(2).

Passo 2

Vamos recordar e entender a regra da cadeia de forma bem clara (a ferramenta que precisamos aqui).
  • Regra da cadeia simples: se você tem uma composição h(x)=F(U(x)), então a derivada de h em x é
h'(x)=F'\big(U(x)\big)\cdot U'(x).
Explicando as letras: U(x) é a função interior (a “substituição”) e F é a função exterior; primeiro derivamos a função exterior F avaliando-a na entrada U(x), depois multiplicamos pela derivada da função interior U'(x).
  • Exemplo rápido e intuitivo: se h(x)=\sin(x^2), aqui F(t)=\sin t e U(x)=x^2. Aplico a regra:
h'(x)=\cos\big(x^2\big)\cdot 2x.
Ou seja: derive o “casulo” externo ( \sin) e multiplique pela derivada do que está dentro ( x^2).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia à composição tripla g(x)=f(f(f(x))).
  • Uma maneira organizada é definir uma função intermediária. Defina
u(x)=f(x),\qquad v(x)=f(u(x))=f(f(x)).
Então g(x)=f(v(x)).
  • Aplicando a regra da cadeia para g(x)=f(v(x)), obtemos
g'(x)=f'\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
Agora precisamos de v'(x). Como v(x)=f(u(x)) e u(x)=f(x), aplicamos a regra da cadeia novamente:
v'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Mas u'(x)=f'(x). Portanto
v'(x)=f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x).
  • Substituindo v'(x) em g'(x) temos
g'(x)=f'\big(f(f(x))\big)\cdot \big[f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)\big].
Ou, escrevendo de forma mais limpa,
g'(x)=f'\big(f(f(x))\big)\;f'\big(f(x)\big)\;f'(x).
Isso é a forma geral: a derivada da composição de três cópias de f é o produto das derivadas de f avaliadas nas três “camadas” internas.

Passo 4

Agora avaliamos essa expressão em x=2, usando os dados do enunciado.
  • Primeiro observe que f(2)=2 (foi dado). Então
f(f(2))=f(2)=2
e também
f(f(f(2)))=f(f(2))=2.
Ou seja, ao avaliar as entradas na expressão de g'(x) em x=2, todas as avaliações ficam em 2.
  • Substituindo x=2 na expressão de g'(x) e usando que todas as entradas valem 2, obtemos
g'(2)=f'(2)\;f'(2)\;f'(2)=\big(f'(2)\big)^3.

Passo 5

Usamos o valor dado de f'(2). Como f'(2)=2, temos
g'(2)=\big(f'(2)\big)^3=2^3.

Resposta

8

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