Procedendo como na Aula 12 via método de separação de variáveis, prove que as soluções devem ser da forma u_{n}(x, t)=a_{n} e^{-\frac{K n^{2} \pi^{2}}{L^{2}} t} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right), desde que f(x) tenha a forma f(x)=a_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right).
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial e de fronteira
O que o exercício pede: provar, via separação de variáveis, que se a condição inicial tem a forma \,f(x)=a_{n}\cos\!\big(\dfrac{n\pi}{L}x\big)\, então a solução correspondente é
As informações relevantes fornecidas são: a equação do calor com coeficiente de difusão K>0, condições de fronteira Neumann u_x(0,t)=u_x(L,t)=0 (derivada zero nas extremidades) e uma condição inicial f(x). A resolução começa assumindo uma solução separável e determinando os possíveis modos espaço-tempo compatíveis com as condições de fronteira.]
Passo 2
Assumimos solução separável do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X depende só de x e T só de t. Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por K X(x)T(t) (assumindo X e T não triviais),
\frac{T'(t)}{K T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x; portanto ambos devem ser iguais a uma constante que chamaremos de -\lambda. Escolhemos o sinal negativo por conveniência (facilita obter modos oscilatórios em x e decaimento em t). Assim obtemos o sistema de equações ordinárias:
Vamos estudar os três casos possíveis para \lambda: \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0. Além disso as condições de fronteira em u impõem em X as condições homogêneas
X'(0)=0,\qquad X'(L)=0,
pois u_x(0,t)=X'(0)T(t)=0 para todo t, e T não é identicamente zero.
Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\alpha^{2} com \alpha>0. A equação espacial é
Como e^{\alpha L}-e^{-\alpha L}>0, segue C=0 e, portanto, X\equiv 0 (trivial). Conclusão: não existem autovalores negativos não-triviais.
Passo 4
Caso \lambda=0. A equação espacial é X''(x)=0, solução
X(x)=Ax+B.
A derivada é X'(x)=A. Impondo X'(0)=0 e X'(L)=0 dá A=0, então X(x)=B (constante). Isso é um modo válido (modo constante) correspondendo à solução temporal com \lambda=0 que veremos adiante; assim existe um autovalor \lambda_{0}=0 com autovetor constante \cos(0)=1.
Passo 5
Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=k^{2} com k>0. A equação espacial é
X''(x)+k^{2}X(x)=0,
solução geral
X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Derivada:
X'(x)=-Ak\sin(kx)+Bk\cos(kx).
Impondo X'(0)=0 dá Bk=0\Rightarrow B=0. Então X(x)=A\cos(kx). Impondo X'(L)=0 reduz a
X'(L)=-Ak\sin(kL)=0.
Para não obter A=0 trivial, precisamos de \sin(kL)=0, isto é
kL=n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Tomando n\ge 1 (já tratamos n=0 no caso \lambda=0), obtemos os autovalores e autovetores:
Portanto os modos espaciais admissíveis (não-triviais) sob Neumann são as funções constantes (n=0) e os cossenos \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big) para n\ge 1.
Passo 6
Agora resolvemos a equação temporal associada a cada autovalor \lambda_{n}:
T'(t)+K\lambda_{n}T(t)=0.
É uma ODE linear de primeira ordem com solução (constante de integração C)
T_{n}(t)=C e^{-K\lambda_{n}t}.
Com \lambda_{n}=\big(\tfrac{n\pi}{L}\big)^{2} temos
T_{n}(t)=C e^{-K\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}t}.
Passo 7
Combinação dos modos espaço-tempo: para cada n obtemos uma solução separável
onde A_{n} é a constante fruto da separação (produto de constantes de X e T). Pela linearidade da equação do calor e pela teoria de problemas com condições lineares homogêneas de fronteira, a combinação linear (soma) desses modos fornece a solução geral na forma de série de Fourier-cosseno:
Isto é, os coeficientes A_{n} são exatamente os coeficientes da expansão de f na base de cossenos (série de Fourier-cosseno sob Neumann). Agora, quando o enunciado supõe que f(x) tem a forma de um único modo,
f(x)=a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)
para algum n\ge 0, então todos os coeficientes A_{m} são zero exceto A_{n}=a_{n}. Portanto a solução correspondente (única) é exatamente o modo temporalmente amortecido associado a esse n: