Se
é um campo vetorial contínuo e conservativo, com função potencial
, e se
é uma curva de classe
, (ou
por partes), então verifique que vale o Teorema Fundamental do Cálculo ao longo de
. Ou seja,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um campo conservativo com potencial
e
é
, então a integral ao longo de
da derivada temporal de
satisfaz o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos usar a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo em uma única variável.
Passo 2
Pela regra da cadeia, para cada
temos
Como
é conservativo com potencial
, segue
.
Passo 3
Por definição de integral de linha de uma função escalar
,
Aplicando isso a
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a função real
no intervalo
:
Passo 5
Invertendo os limites de integração, isto é, trocando
e
, obtemos
o que equivale à forma desejada da integral ao longo de
.