Se F: Omega subset R^n R^n é um campo vetorial contínuo e conservativo, com função potencial phi: Omega R, e se gamma:[a, b] Omega é uma curva de classe C^1, (ou C^1 por partes), então verifique que vale o Teorema Fundamental do Cálculo ao longo de gamma. Ou seja,
integralgamma d phi(gamma)d t(t)=phi(gamma(a))-phi(gamma(b))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se vec F é um campo conservativo com potencial phi e gamma:[a,b]toOmega é C^1, então a integral ao longo de gamma da derivada temporal de phi(gamma(t)) satisfaz o Teorema Fundamental do Cálculo:
integralgammaddtphi(gamma(t)),dt =phi(gamma(a))-phi(gamma(b))
Vamos usar a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo em uma única variável.

Passo 2

Pela regra da cadeia, para cada tin[a,b] temos
ddtphi(gamma(t)) =nabla phi(gamma(t))cdotgamma'(t)
Como vec F é conservativo com potencial phi, segue vec F=nablaphi.

Passo 3

Por definição de integral de linha de uma função escalar h(t),
integralgammah(t),dt =integrala^bh(t),dt
Aplicando isso a h(t)=ddtphi(gamma(t)), obtemos
integralgammaddtphi(gamma(t)),dt =integrala^bddtphi(gamma(t)),dt

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a função real tmapsto phi(gamma(t)) no intervalo [a,b]:
integrala^bddtphi(gamma(t)),dt =phi(gamma(b))-phi(gamma(a))

Passo 5

Invertendo os limites de integração, isto é, trocando a e b, obtemos
integralb^addtphi(gamma(t)),dt =phi(gamma(a))-phi(gamma(b)),
o que equivale à forma desejada da integral ao longo de gamma.

Resposta

integralgammaddtphi(gamma(t)),dt =phi(gamma(a))-phi(gamma(b))

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