resolva cada PVI.
l y^prime prime-y^prime-6 y=0 y(0)=0 e y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial (PVI)
y'' - y' - 6y = 0, y(0)=0,;y'(0)=-1
Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para obter a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea:
r^2 - r - 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, temos
r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
logo os dois raízes reais são
r1 = 3, r2 = -2

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x
Para aplicar as condições iniciais, precisamos também da derivada
y'(x) = 3C1 e^3x - 2C2 e^-2x

Passo 4

Impondo y(0)=0 obtemos
y(0)=C1 + C2 = 0 Longrightarrow C2 = -C1
Em seguida, de y'(0)=-1 vem
y'(0)=3C1 - 2C2 = 3C1 - 2(-C1) = 5C1 = -1 Longrightarrow C1 = -15, ;C2 = 15

Resposta

y(x) = -15e^3x + 15e^-2x ou y(x) = 15l(e^-2x - e^3xr)

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