Se
é contínua em
e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado (tal como está) diz o seguinte:
- Dado que
é contínua em . - Dado que
. - Pede-se mostrar que
.
Vou listar exatamente o que o enunciado pede: provar que a integral imprópria de
em
vale
. Também listo as informações relevantes dadas: a continuidade de
em
e o limite nulo de
no infinito.
Passo 2
Primeiro observação importante (essencial antes de tentar provar qualquer coisa): o enunciado, tal como foi escrito, é falso. Vou mostrar um contraexemplo simples para você ver por que não dá para concluir
apenas com as hipóteses dadas.
Considere a função
- Tem derivada
, que é contínua em . - Tem
. - Contudo, calcule a integral imprópria:
e ao fazer
temos
. Ou seja,
não é igual a
. Portanto a afirmação original é falsa: mesmo com
contínua e
, a integral de
pode divergir.
Passo 3
Dito isso, é muito provável que o enunciado pretendesse outra coisa mais simples e verdadeira: com as mesmas hipóteses (continuidade de
e
) é verdade que a integral da derivada convergente satisfaz
Vou provar essa afirmação corrigida passo a passo — essa é uma aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais impróprias.
Passo 4
Definição e ideia do que vamos usar (explicação didática):
- Quando dizemos
para uma função , estamos definindo essa integral como o limite
desde que esse limite exista finito. Essa é a definição de integral imprópria própria para intervalos infinitos.
- O Teorema Fundamental do Cálculo (versão básica): se uma função
é contínua em um intervalo e é uma primitiva (ou seja, ), então
- No nosso caso,
é contínua em cada intervalo , e é uma primitiva de (pois ). Portanto para cada vale
Essa igualdade é apenas o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado em
.
Passo 5
Agora aplicamos o conceito de integral imprópria e o limite do enunciado. Como definimos a integral em
por limite,
Pelo passo anterior,
Tomando limite quando
e usando a hipótese
, obtemos
Isso mostra a versão correta e verdadeira do resultado.
Passo 6
Comentário intuitivo e conclusão didática: o que acontece é que a integral da derivada contabiliza a variação total de
entre
e
. Como
tende a
no infinito, a variação é
. Não se pode, no entanto, trocar
por
sem perder hipóteses: a integral de
em
pode divergir mesmo que
seja contínua e
, como vimos no contraexemplo de
.
Resposta
O enunciado original é falso. Contraexemplo:
tem
contínua e
mas
.
A afirmação correta (e provada acima) é
A afirmação correta (e provada acima) é