Se f^{\prime} é contínua em [0,+\infty) e \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, mostre que \int_{0}^{+\infty} f(x) d x=-f(0).

Passo 1

O enunciado (tal como está) diz o seguinte:
  • Dado que f' é contínua em [0,+\infty).
  • Dado que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0.
  • Pede-se mostrar que \displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx = -f(0).
Vou listar exatamente o que o enunciado pede: provar que a integral imprópria de f em [0,\infty) vale -f(0). Também listo as informações relevantes dadas: a continuidade de f' em [0,\infty) e o limite nulo de f no infinito.

Passo 2

Primeiro observação importante (essencial antes de tentar provar qualquer coisa): o enunciado, tal como foi escrito, é falso. Vou mostrar um contraexemplo simples para você ver por que não dá para concluir \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=-f(0) apenas com as hipóteses dadas.
Considere a função
f(x)=\frac{1}{1+x}.
  • Tem derivada f'(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}, que é contínua em [0,\infty).
  • Tem \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0.
  • Contudo, calcule a integral imprópria:
\int_{0}^{R} \frac{1}{1+x}\,dx = \ln(1+R),
e ao fazer R\to\infty temos \ln(1+R)\to\infty. Ou seja,
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x}\,dx = +\infty,
não é igual a -f(0)=-1. Portanto a afirmação original é falsa: mesmo com f' contínua e f(x)\to0, a integral de f pode divergir.

Passo 3

Dito isso, é muito provável que o enunciado pretendesse outra coisa mais simples e verdadeira: com as mesmas hipóteses (continuidade de f' e \lim_{x\to\infty} f(x)=0) é verdade que a integral da derivada convergente satisfaz
\int_{0}^{\infty} f'(x)\,dx = -f(0).
Vou provar essa afirmação corrigida passo a passo — essa é uma aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais impróprias.

Passo 4

Definição e ideia do que vamos usar (explicação didática):
  • Quando dizemos \displaystyle \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx para uma função g, estamos definindo essa integral como o limite
\int_{0}^{\infty} g(x)\,dx := \lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} g(x)\,dx,
desde que esse limite exista finito. Essa é a definição de integral imprópria própria para intervalos infinitos.
  • O Teorema Fundamental do Cálculo (versão básica): se uma função h é contínua em um intervalo [a,b] e H é uma primitiva (ou seja, H'=h), então
\int_{a}^{b} h(x)\,dx = H(b)-H(a).
  • No nosso caso, f' é contínua em cada intervalo [0,R], e f é uma primitiva de f' (pois f'= (f)'). Portanto para cada R>0 vale
\int_{0}^{R} f'(x)\,dx = f(R)-f(0).
Essa igualdade é apenas o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado em [0,R].

Passo 5

Agora aplicamos o conceito de integral imprópria e o limite do enunciado. Como definimos a integral em [0,\infty) por limite,
\int_{0}^{\infty} f'(x)\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} f'(x)\,dx.
Pelo passo anterior,
\int_{0}^{R} f'(x)\,dx = f(R)-f(0).
Tomando limite quando R\to\infty e usando a hipótese \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=0, obtemos
\int_{0}^{\infty} f'(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\bigl(f(R)-f(0)\bigr) = 0 - f(0) = -f(0).
Isso mostra a versão correta e verdadeira do resultado.

Passo 6

Comentário intuitivo e conclusão didática: o que acontece é que a integral da derivada contabiliza a variação total de f entre 0 e +\infty. Como f tende a 0 no infinito, a variação é 0-f(0)=-f(0). Não se pode, no entanto, trocar f por f' sem perder hipóteses: a integral de f em [0,\infty) pode divergir mesmo que f' seja contínua e f(x)\to0, como vimos no contraexemplo de f(x)=1/(1+x).

Resposta

O enunciado original é falso. Contraexemplo: f(x)=\dfrac{1}{1+x} tem f' contínua e \lim_{x\to\infty}f(x)=0 mas \displaystyle \int_{0}^{\infty}f(x)\,dx=+\infty.
A afirmação correta (e provada acima) é
\displaystyle \int_{0}^{\infty} f'(x)\,dx = -f(0).

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