Indique as afirmações abaixo como Verdadeira ou falsa:
Se \int_{0}^{\infty} f(x) d x e \int_{0}^{\infty} g(x) d x são ambas divergentes então \int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)] d x é divergente.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte hipótese: as duas integrais impróprias
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx \qquad\text{e}\qquad \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx
são ambas divergentes. A pergunta é: a partir disso, sempre se segue que
\int_{0}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx
é divergente? Deve-se responder Verdadeira ou Falsa.

Passo 2

Primeiro lembrete sobre o que significa aquí “integral imprópria” e “diverge”. A integral imprópria de f em [0,\infty) é definida por
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx,
quando esse limite existe finito dizemos que a integral converge; se o limite é +\infty ou -\infty ou não existe como limite finito, dizemos que a integral diverge. Note que “diverge” inclui tanto divergência para +\infty quanto para -\infty ou ausência de limite.

Passo 3

Sobre linearidade: se \int_{0}^{\infty} f e \int_{0}^{\infty} g convergem (ambas finitas), então vale a linearidade
\int_{0}^{\infty} (f+g)=\int_{0}^{\infty} f+\int_{0}^{\infty} g.
Porém, essa propriedade só pode ser usada sem cuidado quando as duas integrais são convergentes finitas. Se ambas divergem, a soma dos limites não está bem definida e a conclusão sobre \int (f+g) não é automática — pode dar divergência, convergência ou algo indefinido, dependendo dos sinais e do comportamento das divergências.

Passo 4

Para decidir a veracidade da afirmação, basta apresentar um contraexemplo simples (se houver). Considere as funções constantes
f(x)=1,\qquad g(x)=-1\quad\text{para todo }x\ge0.
Calcule as integrais impróprias por definição de limite:
\int_{0}^{R} f(x)\,dx=\int_{0}^{R} 1\,dx=R, \qquad\text{logo}\qquad \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty} R=+\infty,
ou seja, a integral de f diverge para +\infty.
Analogamente,
\int_{0}^{R} g(x)\,dx=\int_{0}^{R} (-1)\,dx=-R, \qquad\text{logo}\qquad \int_{0}^{\infty} g(x)\,dx=\lim_{R\to\infty} (-R)=-\infty,
ou seja, a integral de g diverge para -\infty.
Portanto ambas as integrais \int_0^\infty f e \int_0^\infty g são divergentes, como exigido na hipótese.
Agora considere a soma f+g. Para todo x\ge0 tem-se f(x)+g(x)=1+(-1)=0. Logo
\int_{0}^{\infty} [f(x)+g(x)]\,dx=\int_{0}^{\infty} 0\,dx=0,
que converge (o integral sobre qualquer intervalo é zero, o limite é zero). Assim obtemos um caso em que as duas integrais individuais divergem, mas a integral da soma converge.

Passo 5

O contraexemplo acima mostra que a afirmação geral é falsa: é possível ter \int_0^\infty f e \int_0^\infty g divergentes e ainda assim \int_0^\infty (f+g) convergente. Portanto a proposição “se ambas divergem então a integral da soma é divergente” não é verdade em geral.
Observação curta e útil (para a prova): a afirmação seria verdadeira sob hipóteses adicionais, por exemplo se ambas as integrais divergirem para +\infty (ou ambas para -\infty), então a integral da soma também diverge para o mesmo sinal. O problema aparece quando as divergências têm sinais opostos ou comportamentos que se cancelam.

Resposta

Falsa

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