Indique as afirmações abaixo como Verdadeira ou falsa:
Se
e
são ambas divergentes então
é divergente.
Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte hipótese: as duas integrais impróprias
são ambas divergentes. A pergunta é: a partir disso, sempre se segue que
é divergente? Deve-se responder Verdadeira ou Falsa.
Passo 2
Primeiro lembrete sobre o que significa aquí “integral imprópria” e “diverge”. A integral imprópria de
em
é definida por
quando esse limite existe finito dizemos que a integral converge; se o limite é
ou
ou não existe como limite finito, dizemos que a integral diverge. Note que “diverge” inclui tanto divergência para
quanto para
ou ausência de limite.
Passo 3
Sobre linearidade: se
e
convergem (ambas finitas), então vale a linearidade
Porém, essa propriedade só pode ser usada sem cuidado quando as duas integrais são convergentes finitas. Se ambas divergem, a soma dos limites não está bem definida e a conclusão sobre
não é automática — pode dar divergência, convergência ou algo indefinido, dependendo dos sinais e do comportamento das divergências.
Passo 4
Para decidir a veracidade da afirmação, basta apresentar um contraexemplo simples (se houver). Considere as funções constantes
Calcule as integrais impróprias por definição de limite:
ou seja, a integral de
diverge para
.
Analogamente,
Analogamente,
ou seja, a integral de
diverge para
.
Portanto ambas as integrais e
são divergentes, como exigido na hipótese.
Portanto ambas as integrais
Agora considere a soma
. Para todo
tem-se
. Logo
que converge (o integral sobre qualquer intervalo é zero, o limite é zero). Assim obtemos um caso em que as duas integrais individuais divergem, mas a integral da soma converge.
Passo 5
O contraexemplo acima mostra que a afirmação geral é falsa: é possível ter
e
divergentes e ainda assim
convergente. Portanto a proposição “se ambas divergem então a integral da soma é divergente” não é verdade em geral.
Observação curta e útil (para a prova): a afirmação seria verdadeira sob hipóteses adicionais, por exemplo se ambas as integrais divergirem para
(ou ambas para
), então a integral da soma também diverge para o mesmo sinal. O problema aparece quando as divergências têm sinais opostos ou comportamentos que se cancelam.
Resposta
Falsa